#LyX 1.6.4 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 345
\begin_document
\begin_header
\textclass heb-article
\begin_preamble
\usepackage{a4wide}
\usepackage{braket}
\usepackage{cancel}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-grad}
\usepackage{pst-vue3d}
\newpsstyle{GradGrayWhite}{fillstyle=gradient, gradbegin=blue,gradend=white,linewidth=0.1mm}
\end_preamble
\use_default_options false
\language hebrew
\inputencoding auto
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100
\graphics default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 2
\use_esint 0
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\paperorientation portrait
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\defskip medskip
\quotes_language english
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\author ""
\author ""
\end_header
\begin_body
\begin_layout --Separator--
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\lang english
This Part of the document define the Math-Macro
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\lang english
\backslash
bra,
\backslash
ket &
\backslash
braket for Dirac notation (using braket style)
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\lang english
\backslash
set for set { | } (With expending vert!)
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\lang english
\backslash
rmto and
\backslash
rmpart create diagonal line for deleting expressions (using
\begin_inset Quotes eld
\end_inset
cancel
\begin_inset Quotes erd
\end_inset
style)
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\size tiny
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\bra}[1]{\Bra{#1}}
{\left\langle #1\right\vert }
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\ket}[1]{\Ket{#1}}
{\left\vert #1\right\rangle }
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\set}[1]{\Set{#1}}
{\left\{ #1\right\} }
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\braket}[1]{\Braket{#1}}
{\left\langle #1\right\rangle }
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert #1\right\Vert }
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\rmto}[2]{\cancelto{#2}{#1}}
{\left\lfloor #1\right\uparrow ^{#2}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\rmpart}[1]{\cancel{#1}}
{\left\lfloor #1\right\uparrow }
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\explain}[2]{\underset{\mathclap{\overset{\uparrow}{#2}}}{#1}}
{\underbrace{#1}_{#2}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\explainup}[2]{\overset{\mathclap{\underset{\downarrow}{#2}}}{#1}}
{\overbrace{#1}^{#2}}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\size tiny
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\braceup}[2]{\overbrace{#1}^{\mathclap{#2}}}
{\overbrace{#1}^{#2}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\bracedown}[2]{\underbrace{#1}_{\mathclap{#2}}}
{\underbrace{#1}_{#2}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\d}{{\rm d}}
{\mbox{d}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\MB}{\mathcal{B}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\Iso}{{\rm Iso}}
{\mbox{Iso}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\opr}{O_{2}\left(\RR\right)}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\sgn}{{\rm sgn}}
{\mbox{sgn}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\st}{{\rm St}}
{\mbox{St}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\Sym}{{\rm Sym}}
{\mbox{Sym}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\im}{{\rm Im}}
{\mbox{Im}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\trace}{{\rm trace}}
{\mbox{trace}}
\end_inset
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout --Separator--
\end_layout
\begin_layout Title
גיאומטריה וסימטריה
\end_layout
\begin_layout Author
מרצה: עמוס נבו
\end_layout
\begin_layout Standard
מחברת זו נכתבה משמיעה בהרצאות של עמוס נבו.
המחברת עלולה להכיל חוסרים וטעויות.
\series bold
אין הטכניון או מי מטעמו - ובפרט, הפקולטה למתמטיקה, על מרציה ומתרגליה, אחראים
לתוכנו של מסמך זה.
\end_layout
\begin_layout Standard
הערות והארות, אתם מוזמנים לשלוח ל-
\lang english
ronen@tx.tehcnion.ac.il
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Section
גיאומטריה אוקלידית בסיסית ב-
\begin_inset Formula $\RR^{n}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
על
\begin_inset Formula $\RR^{n}$
\end_inset
מוגדרת מכפלה פנימית:
\begin_inset Formula \[
\left\langle x,y\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\]
\end_inset
שהיא תבנית בילינארית, סימטרית וחיובית לחלוטין.
כלומר, היא מקיימת אדיטביות משמאל,
\begin_inset Formula \[
\left\langle x+y,z\right\rangle =\left\langle x,z\right\rangle +\left\langle y,z\right\rangle \]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
סימטריות:
\begin_inset Formula \[
\left\langle x,y\right\rangle =\left\langle y,x\right\rangle \]
\end_inset
ומכאן נובעת גם אדיטיביות מימין.
כמו כן, מתקיימת הומוגניות )משמאל ומימין(
\begin_inset Formula \[
\left\langle \alpha x,y\right\rangle =\alpha\left\langle x,y\right\rangle =\left\langle x,\alpha y\right\rangle \]
\end_inset
ולבסוף, חיוביות:
\begin_inset Formula \[
\left\langle x,x\right\rangle >0\]
\end_inset
אלא אם כן,
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
הגדרת אורך
\end_layout
\begin_layout Standard
הנורמה של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \[
\norm x=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle }\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Paragraph
הגדרת מרחק בין שתי נקודות:
\end_layout
\begin_layout Standard
המרחק בין
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $y$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $\norm{x-y}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
נוסחאת הקוסינוס
\end_layout
\begin_layout Standard
בהינן
\begin_inset Formula $x,y\in\RR^{n}$
\end_inset
, במישור הנפרש על ידי
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset
נקבל:
\begin_inset Formula \[
\norm{x-y}^{2}=\norm x^{2}+\norm y^{2}-2\norm x\norm y\cos\theta\]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
היא הזווית בין
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $y$
\end_inset
.
זו כמובן נוסחאת הקוסינוס לריבוע האורך של הצלע
\begin_inset Formula $x-y$
\end_inset
במשולש.
\end_layout
\begin_layout Standard
נסמן:
\begin_inset Formula $\norm{x-y}=c$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\norm x=a$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\norm y=b$
\end_inset
ונקבל:
\begin_inset Formula $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\theta$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
באופן שקול:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\norm{x-y}^{2} & =\left\langle x-y,x-y\right\rangle =\left\langle x,x\right\rangle -\left\langle x,y\right\rangle -\left\langle y-,x\right\rangle +\left\langle y,y\right\rangle \\
& =\norm x^{2}+\norm y^{2}-2\left\langle x,y\right\rangle \end{align*}
\end_inset
מהשוואת הנוסחאות, נקבל כי
\begin_inset Formula \[
\left\langle x,y\right\rangle =\norm x\norm y\cos\theta\]
\end_inset
או,
\begin_inset Formula \begin{equation}
\boxed{\cos\theta=\frac{\left\langle x,y\right\rangle }{\norm x\norm y}=\left\langle \frac{x}{\norm x},\frac{y}{\norm y}\right\rangle }\label{eq:CosEq}\end{equation}
\end_inset
אם כן, נוסחא זו שקולה למשפט הקוסינוס במישור.
\end_layout
\begin_layout Remarks
בנוסחאת הקוסינוסים )
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:CosEq"
\end_inset
( אנו רואים כי
\begin_inset Formula $\left\langle x,y\right\rangle =0$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
\begin_inset Formula $\cos\theta=0$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
\begin_inset Formula $\theta=\frac{\pi}{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Remarks
במקרה זה )ורק במקרה זה(, הנוסחא נותנת:
\begin_inset Formula \[
\norm{x-y}^{2}=\norm x^{2}+\norm y^{2}\]
\end_inset
וזהו משפט פיטגורס.
\end_layout
\begin_layout Remarks
באופן שקול,
\begin_inset Formula $\left\langle x,y\right\rangle =0$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
\begin_inset Formula $\norm{x+y}^{2}=\norm x^{2}+\norm y^{2}$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
\begin_inset Formula $x\perp y$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Definition
בסיס נקרא
\series bold
אורתוגונלי
\series default
אם כל שני וקטורים בו הם ניצבים זה לזה, ונקרא
\series bold
אורתונורמלי
\series default
אם בנוסף לכל וקטור בו יש אורך
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
כלומר, אם
\begin_inset Formula $\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =0$
\end_inset
עבור
\begin_inset Formula $i\neq j$
\end_inset
, אזי הבסיס אורתוגונלי, ואם
\begin_inset Formula $\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta_{ij}$
\end_inset
, אזי הבסיס אורתונורמלי.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
מטריצות אורתוגונליות
\end_layout
\begin_layout Definition
מטריצה
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
, נקראת אורתוגונלית, אם
\begin_inset Formula $A^{t}A=I$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
נשים לב כי אם
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
אורתוגונלית, אזי כך גם
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset
, שהרי
\begin_inset Formula $A^{t}A=I$
\end_inset
שקול ל-
\begin_inset Formula $A^{t}=A^{-1}$
\end_inset
.
אזי
\begin_inset Formula $\left(A^{t}\right)^{t}=\left(A^{-1}\right)^{t}=A$
\end_inset
ולכן נובע ש-
\begin_inset Formula \[
\left(A^{-1}\right)^{t}A^{-1}=I\]
\end_inset
גם כן.
\end_layout
\begin_layout Standard
כמובן,
\begin_inset Formula $\det A=\pm1$
\end_inset
, כי
\begin_inset Formula $\left(\det A\right)^{2}=1$
\end_inset
.
)נזכר כי
\begin_inset Formula $\det A^{t}=\det A$
\end_inset
(.
\end_layout
\begin_layout Claim
התנאים הבאים שקולים עבור מטריצה ריבועית:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
אורתוגונלית.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
שומרת על המכפלה הפנימית הסטנדרטית:
\begin_inset Formula $\left\langle Ax,A_{y}\right\rangle =\left\langle x,y\right\rangle $
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
עמודות
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
הן בסיס אורתונורמלי.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Proof
נראה ש-
\begin_inset Formula $\left(1\right)\iff\left(2\right)$
\end_inset
: לשם כך, נראה כי המכפלה הפנימית
\begin_inset Formula $\left\langle x,y\right\rangle $
\end_inset
היא המכפלה של השורה
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
בעמודה
\begin_inset Formula $y$
\end_inset
:
\begin_inset Formula $\left\langle x,y\right\rangle =x^{t}y$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula \[
\left\langle Ax,Ay\right\rangle =\left(Ax\right)^{t}\cdot Ay=x^{t}A^{t}Ay\]
\end_inset
ולכן, אם
\begin_inset Formula $A^{t}A=I$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
שמורת על המכפלה הפנימית.
להיפך, אם
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
שומרת על המכפלה הפנימית, אז
\begin_inset Formula \begin{align*}
x^{t}A^{t}Ay & =x^{t}y\\
x^{t}\left(A^{t}A-I\right)y & =0\end{align*}
\end_inset
או,
\begin_inset Formula $A^{t}A-I=0$
\end_inset
, לכל
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset
, ולכן המטריצה אורתוגונלית.
\end_layout
\begin_layout Proof
נראה ש-
\begin_inset Formula $\left(1\right)\iff\left(3\right)$
\end_inset
:
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
אורתוגונלית
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
עמודות
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
בסיס אורתונורמלי.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula \[
A^{t}A=\begin{pmatrix}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle \end{pmatrix}\]
\end_inset
כלומר, זוהי המטריצה של המכפלות הפנימיות בין העמודות של המטריצה
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $v_{1},\ldots,v_{n}$
\end_inset
הן עמודות
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
\begin_inset Formula \[
A=\begin{pmatrix}\\v_{1} & \ldots & v_{n}\\
\\\end{pmatrix}\]
\end_inset
לכן,
\begin_inset Formula $A^{t}A=I=\delta_{ij}$
\end_inset
אם ורק אם, עמודות
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
מקיימות,
\begin_inset Formula $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\delta_{ij}$
\end_inset
,כלומר, אם ורק אם עמודות
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
בסיס אורתונורמלי.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
תנועה צפידה
\end_layout
\begin_layout Definition
העתקה
\begin_inset Formula $\phi:\RR^{n}\to\RR^{n}$
\end_inset
נקראת תנועה צפידה אם היא שומרת מרחקים:
\begin_inset Formula \[
\norm{\phi\left(x\right)-\phi\left(y\right)}=\norm{x-y}\]
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
במיוחד,
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset
שומרת על אורכי כל הקטעים, ולכן,
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset
מעבירה כל משולש למשולש חופף, ולכן,
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset
שומרת על זוויות.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Paragraph
שתי דוגמאות לתנועה צפידה
\end_layout
\begin_layout Itemize
הזזות:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\ell_{w}:\RR^{n} & \to\RR^{n}\\
\ell_{w}\left(v\right) & =v+w\end{align*}
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula \[
\norm{\ell_{w}\left(v\right)-\ell_{w}\left(v'\right)}=\norm{v-v'}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
טרנספורמציות אורתוגונליות.
\end_layout
\begin_layout Theorem
התנאים הבאים הם שקולים, עבור העתקה
\begin_inset Formula $f:\RR^{n}\to\RR^{n}$
\end_inset
:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
העתקה צפידה השומרת על הראשית.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
שומרת על המכפלה הפנימית הסטנדרטית:
\begin_inset Formula $\left\langle f\left(x\right),f\left(y\right)\right\rangle =\left\langle x,y\right\rangle $
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
ניתן על ידי
\begin_inset Formula $f\left(x\right)=Ax$
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
אורתוגנלית.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\left(1\right)\implies\left(2\right)$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\norm{f\left(x\right)-f\left(y\right)}^{2} & =\norm{f\left(x\right)}^{2}+\norm{f\left(y\right)}^{2}-2\left\langle f\left(x\right),f\left(y\right)\right\rangle \end{align*}
\end_inset
בנוסף,
\begin_inset Formula \[
\norm{f\left(x\right)-f\left(0\right)}=\norm{x-0}=\norm{x-0}=\norm x\]
\end_inset
אם נתון ש-
\begin_inset Formula $f\left(0\right)=0$
\end_inset
.
אזי,
\begin_inset Formula $\norm u=\norm{f\left(u\right)}$
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula \[
\norm{f\left(x\right)-f\left(y\right)}^{2}=\norm x^{2}+\norm y^{2}-2\left\langle f\left(x\right),f\left(y\right)\right\rangle \]
\end_inset
ולבסוף, שוב, מאחר ש-
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
צפידה,
\begin_inset Formula \[
=\norm{x-y}\]
\end_inset
בסך הכל,
\begin_inset Formula \begin{align*}
\norm{f\left(x\right)-f\left(y\right)}^{2} & =\norm{x-y}^{2}=\norm x^{2}+\norm y^{2}-2\left\langle f\left(x\right),f\left(y\right)\right\rangle \\
& =\norm x^{2}+\norm y^{2}-2\left\langle x,y\right\rangle \end{align*}
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula \[
\left\langle x,y\right\rangle =\left\langle f\left(x\right),f\left(y\right)\right\rangle \]
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
שומרת על המכפלה הפנימית.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\left(2\right)\implies\left(3\right)$
\end_inset
: נתון ש-
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
שומרת על המכפלה הפנימית.
אם כן,
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
מעבירה בסיס אורתונורמלי
\begin_inset Formula $e_{1},\ldots,e_{n}$
\end_inset
לבסיס אורתונורמלי
\begin_inset Formula $f\left(e_{1}\right),\ldots,f\left(e_{n}\right)$
\end_inset
.
נפתח, ונקבל ש-
\begin_inset Formula \[
f\left(e_{i}\right)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}e_{j}\]
\end_inset
ולכן, המטריצה
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset
היא אורתוגונלית.
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset
הם המקדמים של פיתוח בסיס אורתונורמלי אחד באמצעות בסיס אורתנורמלי אחר.
לכן, גם גם
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset
אורתוגונלי, ולכן, ההעתקה
\begin_inset Formula $g=A^{-1}\circ f$
\end_inset
, היא: )א( שומרת על המכפלה הפנימית, )ב( ובנוסף, מעבירה את הבסיס האורתונורמלי
\begin_inset Formula $e_{1},\ldots,e_{n}$
\end_inset
לעצמו.
נובע מכאן כי
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
היא הזהות:
\begin_inset Formula \begin{align*}
x & =\sum x_{i}e_{i}\\
\left\langle g\left(x\right),e_{i}\right\rangle & =x_{i}'=\left\langle g\left(x\right),ge^{i}\right\rangle =\left\langle x,e_{i}\right\rangle =x_{i}\end{align*}
\end_inset
לכן,
\begin_inset Formula $g\left(x\right)=x$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula $g=I=A^{-1}\circ f$
\end_inset
, כלמר,
\begin_inset Formula $f=A$
\end_inset
היא טרנספורמציה לינארית אורתוגונלית.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\left(3\right)\implies\left(1\right)$
\end_inset
-- אם
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
אורתוגנלית, אז
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
צפידה, ו-
\begin_inset Formula $A0=0$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $\norm{Ax}=\norm x$
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
, ולכן
\begin_inset Formula \[
\norm{Ax-Ay}=\norm{A\left(x-y\right)}=\norm{x-y}\]
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
צפידה.
\end_layout
\begin_layout Standard
ננסח מחדש מה שהוכחנו, ומסקנות הנובעות ממנו:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
ראינו כי כל העתקה צפידה ששומרת על
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
, היא אורתוגונלית, ובמיוחד, לינארית.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
כמסקנה, נקבל כי העתקה צפידה היא
\series bold
על
\series default
.
\end_layout
\begin_layout Definition
העתקה חח"ע ועל השומרת מרחקים נקראת
\series bold
איזומטריה.
\series default
\end_layout
\begin_layout Standard
)מרחק ניתן על ידי מטריקה, ו"שווה" זה "איזו"(
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן, במיוחד, כל העתקה צפידה של
\begin_inset Formula $\RR^{n}$
\end_inset
היא איזומטריה של
\begin_inset Formula $\RR^{n}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
נעיין ב-
\begin_inset Formula \[
G=\set{f:\RR^{n}\to\RR^{n}|f\,\text{is Isometry}}\]
\end_inset
לכל איזומטריה
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
, גם
\begin_inset Formula $f^{-1}$
\end_inset
היא איזומטריה, ואם
\begin_inset Formula $f,g$
\end_inset
איזומטריות, כך גם
\begin_inset Formula $f\circ g$
\end_inset
, ולכן
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
היא חבורה.
\end_layout
\begin_layout Subsection
מבנה חבורת האיזומטריות של
\begin_inset Formula $\RR^{n}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
תהא
\begin_inset Formula $\varphi:\RR^{n}\to\RR^{n}$
\end_inset
, איזומטריה.
יהא
\begin_inset Formula $v=\varphi\left(0\right)$
\end_inset
.
נסתכל בהעתקה
\begin_inset Formula \[
\ell_{-\varphi\left(0\right)}=\ell_{-v}\]
\end_inset
נעיין ב-
\begin_inset Formula $f=\ell_{-v}\circ\varphi$
\end_inset
.
אז,
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
איזומטריה כהרכבה של
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
שתי איזומטריות.
אבל
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
איזומטריה ששומרת על
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\numeric off
:
\begin_inset Formula \[
f\left(0\right)=\ell_{-v}\circ\varphi\left(0\right)=\ell_{-\varphi\left(0\right)}\left(\varphi\left(0\right)\right)=\varphi\left(0\right)-\varphi\left(0\right)=0\]
\end_inset
לכן,
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
איננה אלא טרנספומרציה אורתוגונלית
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
אם כן,
\begin_inset Formula \[
A=\ell_{-v}\circ\varphi=A=f\]
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula $\varphi=\ell_{v}\circ A$
\end_inset
.
נסיק כי
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
הרכבה של הזזה
\begin_inset Formula $\ell_{v}$
\end_inset
על טרנספורמציה לינארית אורתוגנלית
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Theorem
חבורת האיזומטריות
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{n}\right)$
\end_inset
של
\begin_inset Formula $\RR^{n}$
\end_inset
, היא חבורת כל ההעתקות:
\begin_inset Formula \[
\varphi_{A,v}\left(x\right)=Ax+v\]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $v\in\RR^{n}$
\end_inset
כלשהו, ו-
\begin_inset Formula $A\in O_{n}\left(\RR\right)$
\end_inset
, החבורה האורתוגנלית של מטריצות.
\end_layout
\begin_layout Remarks
כל איזומטריה
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
קובעת את ההצגה,
\begin_inset Formula \[
\varphi=\varphi_{A,v}\]
\end_inset
בצורה יחידה.
למעשה,
\begin_inset Formula $v=-\varphi\left(0\right)$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
היא הטרנספורמציה הלינארית
\begin_inset Formula $\ell_{-\varphi\left(0\right)}\circ\varphi$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
חוק הכפל בחבורה האוקלידית
\end_layout
\begin_layout Standard
חבורת האיזומטריות של
\begin_inset Formula $\RR^{n}$
\end_inset
: בהנתן שתי איזומטריות
\begin_inset Formula $\varphi_{A,v},\varphi_{B,w}$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $\varphi_{A,v}\circ\varphi_{B,w}$
\end_inset
איזומטריה, ולכן, מהצורה
\begin_inset Formula $\varphi_{C,u}$
\end_inset
.
נמצא את
\begin_inset Formula $C,u$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \[
\varphi_{A,v}\circ\varphi_{B,w}\left(x\right)=\varphi_{A,v}\left(Bx+w\right)=ABx+Aw+v\]
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula \[
\boxed{\varphi_{A,v}\circ\varphi_{B,w}=\varphi_{AB,Aw+v}}\]
\end_inset
ומשוואה זו מגדירה את חוק הכפל בחבורה האוקלידית.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
סיבובים ושיקופים במישור
\end_layout
\begin_layout Standard
תהא
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
טרנספורמציה אורתוגונלית
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}a & b\\
c & d\end{pmatrix}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $A^{t}A=I$
\end_inset
, במילים אחרות
\begin_inset Formula \[
\begin{pmatrix}a & b\\
c & d\end{pmatrix}^{t}\begin{pmatrix}a & b\\
c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & c\\
b & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\
c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^{2}+c^{2} & ab+cd\\
ab+cd & b^{2}+d^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix}\]
\end_inset
נוכל לרשום
\begin_inset Formula $a=\cos\theta$
\end_inset
ואז
\begin_inset Formula $c=\sin\theta$
\end_inset
.
נוכל לרשום גם
\begin_inset Formula $b=\sin\varphi$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $d=\cos\varphi$
\end_inset
, ואז יתקיימו שתי המשוואות על האלכסון.
\end_layout
\begin_layout Standard
אזי,
\begin_inset Formula \begin{align*}
ab+cd & =0\implies\cos\theta\sin\varphi+\sin\theta\cos\varphi=0\\
0 & =\sin\left(\varphi+\theta\right)\end{align*}
\end_inset
אם כן,
\begin_inset Formula $\theta+\varphi=0\,\text{or }\pi$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Itemize
אפשרות אחת:
\begin_inset Formula $\varphi=-\theta$
\end_inset
.
אז נקבל ש-
\begin_inset Formula \[
r_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
אפשרות שני:
\begin_inset Formula $\varphi=\pi-\theta$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula \[
h_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
זהו תיאור מלא של החבורה האורתוגונלית
\begin_inset Formula $\opr$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
עובר על כל
\begin_inset Formula $[0,2\pi)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
באפשרות הראשונה,
\begin_inset Formula $\det r_{\theta}==+1$
\end_inset
, ובאפשרות השניה,
\begin_inset Formula $\det h_{\theta}=-1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $r_{\theta}$
\end_inset
הוא סיבוב בזווית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
נגד כיוון השעון במישור:
\begin_inset Formula \begin{align*}
r_{\theta}\begin{pmatrix}x\\
y\end{pmatrix} & =r_{\theta}\left(\lambda\begin{pmatrix}\cos\alpha\\
\sin\alpha\end{pmatrix}\right)=\lambda\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\alpha\\
\sin\alpha\end{pmatrix}\\
& =\lambda\begin{pmatrix}\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha\\
\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\cos\left(\theta+\alpha\right)\\
\sin\left(\theta+\alpha\right)\end{pmatrix}\end{align*}
\end_inset
כלומר, כל מעגל עובר לעצמו, עם סיבוב בזווית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
במיוחד,
\begin_inset Formula $r_{\theta}\circ r_{\varphi}=r_{\theta+\varphi}=r_{\varphi}\circ r_{\theta}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $r_{\theta}\circ r_{-\theta}=r_{0}=I$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula $r_{\theta}^{-1}=r_{-\theta}$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula \[
\set{r_{\theta}|0\leq\theta<2\pi}\]
\end_inset
היא חבורה אבלית.
החשבון על החבורה הזו הוא מודולי
\begin_inset Formula $2\pi$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \begin{align*}
r_{0} & =r_{2\pi}=I\\
r_{\theta} & =r_{\theta+2\pi n}\end{align*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
מהצד השני,
\begin_inset Formula $\det h_{\theta}=-1$
\end_inset
, וקיים
\begin_inset Formula \[
h_{\theta}\circ h_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix}\]
\end_inset
כל
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
היא טנרמסורמציית
\series bold
שיקוף
\series default
.
כלומר, לכל
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
קיימים וקטורים,
\begin_inset Formula $\eps_{1}=\eps_{2}\left(\theta\right)$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $\eps_{2}=\eps_{2}\left(\theta\right)$
\end_inset
, כך שבבסיס
\begin_inset Formula $\left\{ \eps_{1},\eps_{2}\right\} $
\end_inset
,
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
ניתנת על ידי ההעתקה, שנסמן
\begin_inset Formula $J_{2}$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \[
J_{2}\begin{pmatrix}u\\
v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u\\
-v\end{pmatrix}\]
\end_inset
כלומר, שיקוף ביחס לציר
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
השיקוף הכללי ביותר הוא ביחס לוקטורים
\begin_inset Formula $\eps_{1},\eps_{2}$
\end_inset
, התלויים ב-
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $\eps_{1},\eps_{2}$
\end_inset
מקובעים, אלו הם וקטורים עצמים של
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
: השיקוף הכללי ביותר מתבצע ביחס לוקטורים העצמיים של
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\eps_{1},\eps_{2}$
\end_inset
, כאש
\begin_inset Formula $\eps_{1}$
\end_inset
הוא וקטור שבת:
\begin_inset Formula $h_{\theta}\eps_{1}=\eps_{1}$
\end_inset
, והוקטור
\begin_inset Formula $\eps_{2}$
\end_inset
מקיים:
\begin_inset Formula $h_{\theta}\eps_{2}=-\eps_{2}$
\end_inset
, וההעתקה
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
הופכת את הסימן של הרכיב על
\begin_inset Formula $\eps_{2}$
\end_inset
.
בבסיס האורתונורמלי של הוקטורים העצמיים שלה, המטריצה המייצגת של
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
היא
\begin_inset Formula $J_{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Corollary
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
טרנספורמציה לינארית אורתוגנלית במישור,
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
, היא סיבוב אם ורק אם
\begin_inset Formula $\det A=1$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
טרנספורמציה לינארית אורתוגונלית במישור ,
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
, היא שיקוף אם ורק אם
\begin_inset Formula $\det A=-1$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
אוסף הסיבובים הוא חבורה.
תת חבורת הסיבובים של
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
נסמן תת חבורה זו ב-
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
לכל שני שיקופים,
\begin_inset Formula $h_{\theta}\circ h_{\varphi}$
\end_inset
הוא סיבוב, כי הוא בעל דטרמיננטה
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
.
לכן,
\begin_inset Formula $h_{\theta}\circ h_{\varphi}=r_{\psi}$
\end_inset
עבור
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset
כלשהו.
\begin_inset Formula \[
h_{\theta}=r_{\psi}h_{\varphi}^{-1}=r_{\psi}h_{\varphi}\]
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula \[
h_{\theta}\in R\cdot h_{\varphi}\]
\end_inset
כלומר, קבוצת השיקופים היא מחלקה של חבורת הסיבובים.
\begin_inset Formula \begin{align*}
h_{\theta} & =r_{\alpha}\cdot J_{2}\\
h_{\theta} & \in R\cdot J_{2}\end{align*}
\end_inset
ולכן, קבוצת השיקופים היא
\begin_inset Formula $R\cdot J_{2}$
\end_inset
.
לכן,
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
הוא איחוד זר של סיבובים ושיקופים.
ל-
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
יש בדיוק שתי מחלקות שקילות ב-
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
, ולכן
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
תת חבורה נורמלית של החבורה האורתוגונלית.
כמובן, ההעתקה
\begin_inset Formula \[
\det:\opr\to\left\{ \pm1\right\} \]
\end_inset
היא אומואומורפיזם, וכמובן,
\begin_inset Formula $\ker\det=R$
\end_inset
.
נסמן,
\begin_inset Formula $R=SO_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
,
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Spacial Ortogonal Group of order 2
\lang hebrew
.
באופן כללי,
\begin_inset Formula \[
SO_{n}\left(\RR\right)=\set{A\in O_{n}\left(\RR\right)|\det A=1}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
"לוח הכפל" ב-
\begin_inset Formula $\opr$
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Corollary
לשם כך, נחזור רגע שוב אל
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $h_{\theta}^{2}=I$
\end_inset
, ולכן, הערכי העצמיים של
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
הם
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset
.
כלומר, ל-
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
יש וקטור שבת ווקטור שעובד לנגדי, והם, ניצבים.
\end_layout
\begin_layout Corollary
\begin_inset Formula \begin{align*}
\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\nicefrac{\theta}{2}\\
\sin\nicefrac{\theta}{2}\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\nicefrac{\theta}{2}+\sin\theta\sin\nicefrac{\theta}{2}\\
\sin\theta\cos\nicefrac{\theta}{2}-\cos\theta\sin\nicefrac{\theta}{2}\end{pmatrix}\\
& =\begin{pmatrix}\cos\nicefrac{\theta}{2}\\
\sin\nicefrac{\theta}{2}\end{pmatrix}\end{align*}
\end_inset
ולכן זהו וקטור שבת.
הוקטור האורתוגונלי:
\begin_inset Formula \[
\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\nicefrac{\theta}{2}\\
-\cos\nicefrac{\theta}{2}\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}\sin\nicefrac{\theta}{2}\\
-\cos\nicefrac{\theta}{2}\end{pmatrix}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
הטרנספורמציה
\begin_inset Formula $h_{\varphi}\cdot h_{\theta}$
\end_inset
הוא בעל דטרמיננטה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\numeric off
, ולכן סיבוב.
באיזה זוית? די למצוא את הזוית בה סובב הוקטור
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
: נסתכל על ציר השיקוף של
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
, בזווית
\begin_inset Formula $\frac{\theta}{2}$
\end_inset
יחסית ל-
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
, וציר השיקוף של
\begin_inset Formula $h_{\varphi}$
\end_inset
בזווית של
\begin_inset Formula $\frac{\varphi}{2}$
\end_inset
יחסית ל-
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
.
נחשב את
\begin_inset Formula $h_{\theta}e_{1}$
\end_inset
: זהו שיקוף של
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
ביחס לציר השיקוף של
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
, כלומר, סיבוב בזווית של
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
ממקומו המקורי.
לכן,
\begin_inset Formula $h_{\theta}e_{1}$
\end_inset
הוא בזווית של
\begin_inset Formula $\frac{\varphi}{2}-\theta$
\end_inset
יחסית לציר השיקוף של
\begin_inset Formula $h_{\varphi}$
\end_inset
: לכן, הזווית בין
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $h_{\varphi}h_{\theta}e_{1}$
\end_inset
היא:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\angle & =2\left(\frac{\varphi}{2}-\theta\right)+\theta=\varphi-\theta\\
h_{\varphi}h_{\theta} & =r_{\varphi-\theta}\end{align*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\series bold
יחסי הצמדה
\series default
-- הטרנספורמציה
\begin_inset Formula $h_{\theta}r_{\varphi}h_{\theta}^{-1}$
\end_inset
היא סיבוב )
\begin_inset Formula $\det=1$
\end_inset
( ומתקיים,
\begin_inset Formula \[
h_{\theta}r_{\varphi}h_{\theta}^{-1}=h_{\theta}r_{\varphi}h_{\theta}\]
\end_inset
מאחר ו-
\begin_inset Formula $h_{\theta}=h_{\theta}^{-1}$
\end_inset
.
נחשב את הזווית של הסיבוב, ושוב נוכל לחשב א תהזווית שבה סובב הוקטור
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
)נסמן:
\begin_inset Formula $v_{\theta}$
\end_inset
את וקטור
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
מסובב בזווית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
שוכן על ציר
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
(.
\begin_inset Formula $v_{\theta}=h_{\theta}e_{1}$
\end_inset
, שיקוף של
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
סביב ציר השיקוף, שהוא
\begin_inset Formula $v_{\nicefrac{\theta}{2}}$
\end_inset
.
את
\begin_inset Formula $v_{\theta}$
\end_inset
יש לסובב ב-
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
, ולבסוף, לשקף אותו שוב סביב
\begin_inset Formula $v_{\nicefrac{\theta}{2}}$
\end_inset
.
לכן,
\begin_inset Formula \[
h_{\theta}r_{\varphi}h_{\theta}\cdot e_{1}=r_{-\varphi}e_{1}=v_{-\varphi}\]
\end_inset
אזי,
\begin_inset Formula \[
\boxed{h_{\theta}r_{\varphi}h_{\theta}^{-1}=r_{-\varphi}}\]
\end_inset
ההצמדה הזו אינה טריוויאלית: סיבוב ושיקוף אינם מתחלפים, והצמדה בשיקוף הופכת
את זווית הסיבוב, ללא תלות בציר השיקוף.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
נעשה את אותו חישוב בקוארדינטות: השיקוף הכללי ביותר הוא מהצורה
\begin_inset Formula \begin{align*}
h_{\theta} & =r_{\alpha}\cdot J_{2}\\
h_{\theta}r_{\varphi}h_{\theta}^{-1} & =r_{\alpha}J_{2}r_{\varphi}J_{2}^{-1}r_{\alpha}^{-1}\\
J_{2}r_{\varphi}J_{2}^{-1} & =r_{-\varphi}\end{align*}
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula $h_{\theta}r_{\varphi}h_{\theta}=r_{-\varphi}$
\end_inset
)מאחר וסיבובים במישור מתחלפים(
\begin_inset Formula \[
J_{2}r_{\varphi}J_{2}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\
\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\varphi & \sin\varphi\\
-\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}=r_{-\varphi}\]
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
הטרנספורמציה,
\begin_inset Formula $r_{\varphi}h_{\theta}r_{\varphi}^{-1}$
\end_inset
היא שיקוף.
נמצא את הציר שלו.
לשם כך נתבון ב-
\begin_inset Formula $r_{\varphi}\eps_{1}\left(\theta\right)$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $\eps_{1}\left(\theta\right)$
\end_inset
הוא ציר השיקוף של
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
, ואזי,
\begin_inset Formula \[
\left(r_{\varphi}h_{\theta}r_{\varphi}^{-1}\right)\left(r_{\varphi}\eps_{1}\left(\theta\right)\right)=r_{\varphi}h_{\theta}\eps_{1}\left(\theta\right)=r_{\varphi}\eps_{1}\left(\theta\right)\]
\end_inset
אם כן,
\begin_inset Formula $r_{\varphi}\eps_{1}\left(\theta\right)$
\end_inset
הוא וקטור אינוורינטי תחת הטרנספורמציה
\begin_inset Formula $r_{\varphi}h_{\theta}r_{\varphi}^{-1}$
\end_inset
, ומאחר וזו טרנספורמציית שיקוף, נובע כי מצאנו את ציר השיקוף.
לכן, ציר השיקוף של
\begin_inset Formula $r_{\varphi}h_{\theta}r_{\varphi}^{-1}$
\end_inset
, בזווית של
\begin_inset Formula $\varphi+\frac{\theta}{2}$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula \[
r_{\varphi}h_{\theta}r_{\varphi}^{-1}=h_{\theta+2\varphi}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Remarks
מצאנו את לוח הכפל של
\begin_inset Formula $\opr$
\end_inset
.
\begin_inset Formula \begin{align*}
h_{\varphi}h_{\theta} & =r_{\varphi-\theta}\\
h_{\theta}r_{\varphi}h_{\theta}^{-1}=r_{-\varphi}\implies h_{\theta}r_{\varphi} & =r_{-\varphi}h_{\theta}\\
r_{\varphi}h_{\theta}r_{\varphi}^{-1}=h_{\theta+2\varphi}\implies r_{\varphi}h_{\theta} & =h_{\theta+2\varphi}r_{\varphi}\\
r_{\varphi}r_{\theta} & =r_{\theta}r_{\varphi}\end{align*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout --Separator--
\end_layout
\begin_layout Remarks
בחישוב הציר של
\begin_inset Formula $r_{\varphi}h_{\theta}r_{\varphi}^{-1}$
\end_inset
, היתה לנו נקודת שבת של
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
)ציר הסיבוב( וכדי למצוא נקודת שבת של הטרנספורמציה הצמודה ל-
\begin_inset Formula $h_{\theta}$
\end_inset
, הפעלנו את הטרנספורמציה המצמידה של נקודת השבת.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\mathbb{R}\right)$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Definition
סיבוב ב-
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
היא טרנספורמציה לינארית ששומרת על וקטור יחידה
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
אינווריאנטי ושומרת גם על המישור הניצב ל-
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
, שעליו היא פועלת כסיבוב.
\end_layout
\begin_layout Definition
טרנספורמציה כזו נקראת
\emph on
סיבוב סביב הציר
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן, כל סוג
\begin_inset Formula $\left(v,\theta\right)$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $v\in S^{2}$
\end_inset
, )
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
, ספרת היחידה(
\begin_inset Formula $\theta\in\left(0,2\pi\right]$
\end_inset
, קובעת טרנספורמציית סיבוב ב-
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
)בזווית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
במישור הניצב ל-
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
( נשים לב כי
\begin_inset Formula $\left(v,\theta\right)$
\end_inset
קובעים את אותה טרנספורציה כמו
\begin_inset Formula $\left(-v,-\theta\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
נשים גם לב, כי
\begin_inset Formula $\left(v,0\right)$
\end_inset
מייצג את טרנספורמציית הזהות, שאין לה ציר סיבוב.
\end_layout
\begin_layout Theorem
)
\lang english
Euler
\lang hebrew
( כל טרנספורמציה אורתוגונלית ב-
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
שהיא בעלת דטרמיננטה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
היא סיבוב סביב ציר.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\det A^{t}=\det A=1$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula \[
A^{t}\left(A-I\right)=A^{t}A-A^{t}=I-A^{t}=\left(I-A\right)^{t}\]
\end_inset
ומכאן,
\begin_inset Formula \begin{align*}
\det A^{t}\det\left(A-I\right) & =\det\left(I-A\right)\\
& =\det\left(A-I\right)=\left(-1\right)^{3}\det\left(A-I\right)\end{align*}
\end_inset
לכן,
\begin_inset Formula $\det\left(A-I\right)=0$
\end_inset
, לכן
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
ע"ע של
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
, כלומר, יש וקטור יחידה
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
עם
\begin_inset Formula $Av=v$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
נבדוק מה קורה במישור הניצב: כידוע, אם
\begin_inset Formula $Av=v$
\end_inset
, אזי גם
\begin_inset Formula $AV^{\perp}=V^{\perp}$
\end_inset
, כי
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
אורתוגונלית.
\begin_inset Formula \[
V^{\perp}=\left\{ w\in\RR^{3}|w\perp v\right\} \]
\end_inset
אם
\begin_inset Formula $w\in V^{\perp}$
\end_inset
, אז נראה כי
\begin_inset Formula $Aw$
\end_inset
גם ב-
\begin_inset Formula $v^{\perp}$
\end_inset
)כלומר,
\begin_inset Formula $v^{\perp}$
\end_inset
מרחב אינוורינטי(.
\begin_inset Formula \[
\left\langle Aw,v\right\rangle =\left\langle w,A^{t}v\right\rangle =\left\langle w,A^{-1}v\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle =0\]
\end_inset
שהרי
\begin_inset Formula $Av=v$
\end_inset
גורר כמובן כי
\begin_inset Formula $A^{-1}v=v$
\end_inset
.
לכן,
\begin_inset Formula $AV^{\perp}\subseteq V^{\perp}$
\end_inset
ולכן
\begin_inset Formula $AV^{\perp}=V^{\perp}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Remarks
באופן כללי, אם
\begin_inset Formula $U\subseteq V$
\end_inset
תת מרחב וקטורי אינוורינטי תחת טרנספורמציה לינארית אורתוגונלית
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
, אז
\begin_inset Formula $U^{\perp}$
\end_inset
גם כן אינוורינטי תחת
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
כמובן, ש-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
טרנספורמציה לינארית אורתוגונלית במישר
\begin_inset Formula $V^{\perp}$
\end_inset
.
)
\begin_inset Formula $A|_{V^{\perp}}$
\end_inset
(, לכן,
\begin_inset Formula $A|_{V^{\perp}}$
\end_inset
סיבוב או שיקוף, ובעצם, סיבוב, כי בבסיס אורתונורמלי בו
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
הוקטור הראשון ו-
\begin_inset Formula $u,w$
\end_inset
בסיס אורתוגונלי ל-
\begin_inset Formula $V^{\perp}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \[
A\sim\left(\begin{array}{c|c}
1\\
\hline & A|_{V^{\perp}}\end{array}\right)\]
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula \[
1=\det A=\det A|_{V^{\perp}}\]
\end_inset
אם כן,
\begin_inset Formula \[
A=\sim\left(\begin{array}{c|cc}
1 & 0 & 0\\
\hline 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\
0 & \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right)\tag{\star}\]
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Corollary
לכל מטריצה עם דטרמיננטה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ב-
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, מיוצגת על ידי מטריצה בצורה
\begin_inset Formula $\left(\star\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן, כל מטריצה עם דטרמיננטה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ב-
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
צמודה למטריצה מהצורה
\begin_inset Formula $\left(\star\right)$
\end_inset
, בתוך החבורה האורתוגונלית
\end_layout
\begin_layout Corollary
נעיין ב-
\begin_inset Formula \begin{align*}
\det:O_{3}\left(\RR\right) & \to\left\{ \pm1\right\} \\
SO_{3}\left(\RR\right) & =\left\{ A\in O_{3}\left(\RR\right)|\det A=1\right\} \end{align*}
\end_inset
כמובן ש-
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)=\ker\det$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
מאינדקס
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ב-
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, כך ש-
\begin_inset Formula \[
O_{3}\left(\RR\right)=SO_{3}\left(\RR\right)\biguplus SO_{3}\left(\RR\right)\cdot J_{3}\]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula \[
J_{3}=\begin{pmatrix}-1\\
& 1\\
& & 1\end{pmatrix}\]
\end_inset
למעשה,
\begin_inset Formula $SU_{3}\left(\RR\right)J_{3}=SU_{3}\left(\RR\right)J=J\cdot SU_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, לכל טרנספורמציה אורתוגונלית
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
עם דטרמיננטה
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Corollary
עד עתה, ראינו כי מטריצה אורתוגונלית היא סיבוב סביב ציר
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
יש לה דטרמיננטה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\numeric off
.
\end_layout
\begin_layout Claim
נניח
\begin_inset Formula $\det A=-1$
\end_inset
.
אזי קיים וקטור יחידה
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
, כך ש-
\begin_inset Formula $Av=-v$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
נחשב:
\begin_inset Formula \begin{align*}
A^{t}\left(A+I\right) & =A^{t}A+A^{t}=\left(I+A\right)^{t}\\
& =\left(A+I\right)^{t}\end{align*}
\end_inset
לכן,
\begin_inset Formula \[
-\det\left(A+I\right)=\det A\det\left(A+I\right)=\det\left(A+I\right)\]
\end_inset
כי
\begin_inset Formula $\det A=-1$
\end_inset
, לכן,
\begin_inset Formula \[
\det\left(A+I\right)=0\]
\end_inset
, ולכן, יש ערך עצמי
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Remarks
אם
\begin_inset Formula $\det A=-1$
\end_inset
, לא נובע כי ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
אין וקטור אינוורינטי.
למשל,
\begin_inset Formula \[
A=\begin{pmatrix}-1\\
& 1\\
& & 1\end{pmatrix}\]
\end_inset
למטריצה זו יש וקטור שעובר לנגדי שלו,
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}1\\
0\\
0\end{pmatrix}$
\end_inset
, ובנוסף, המרחב הנפרש על ידי
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}0\\
1\\
0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\
0\\
1\end{pmatrix}$
\end_inset
, הוא תת מרחב של וקטורי שבת.
בנוסף,
\begin_inset Formula \[
B=\begin{pmatrix}-1\\
& -1\\
& & 1\end{pmatrix}\]
\end_inset
\begin_inset Formula $\det B=+1$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula $B$
\end_inset
היא סיבוב סביב ציר
\begin_inset Formula $z$
\end_inset
, בזווית
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset
.
דוגמא נוספת היא המטריצה,
\begin_inset Formula \[
C=\begin{pmatrix}-1\\
& -1\\
& & -1\end{pmatrix}\]
\end_inset
\begin_inset Formula $\det C=-1$
\end_inset
, כאן, ציר
\begin_inset Formula $z$
\end_inset
, למשל, עובר ל-
\begin_inset Formula $-z$
\end_inset
, ובמישור
\begin_inset Formula $x-y$
\end_inset
, מתבצע סיבוב ב-
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
תרגיל:
\end_layout
\begin_layout Standard
נעיין ב-
\begin_inset Formula $D=\begin{pmatrix}-1\\
& \cos\theta & \sin\theta\\
& \sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\det D=1$
\end_inset
, לכן,
\begin_inset Formula $D$
\end_inset
סיבוב סביב ציר.
מצאו את הציר ואת זווית הסיבוב במישור הניצב.
\end_layout
\begin_layout Section
סימטריה
\end_layout
\begin_layout Subsection
חבורת התנועות הצפידות )איזומטריות( של המישור
\end_layout
\begin_layout Standard
אילו תנועות צפידות יש במישור?
\end_layout
\begin_layout Enumerate
הזזה,
\begin_inset Formula $t_{a}$
\end_inset
:
\begin_inset Formula $t_{a}\left(v\right)=v+a$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
סיבוב סביב נקודת שבת.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
שיקוף בציר שיקוף.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
שיקוף-הזזה בציר שיקוף הזזה.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
הסימטריות המתאימות
\end_layout
\begin_layout Enumerate
אם
\begin_inset Formula $r$
\end_inset
סיבוב סביב
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
כמרכז.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
למשל, סיבוב בזווית
\begin_inset Formula $\frac{2\pi}{n}$
\end_inset
, ישאיר את המצולע המשוכלל עם
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
צלעות ומרכז
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
, אינוורינטי, ולכן, סיבוב כזה יפעל כסימטריה של המצולע.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
הזזה, וסימטריה תחת הזזה
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
אם גוף מורכב ממבנה מחזורי על ציר מסויים במרחק
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
, זה מזה, אז הגוף ישאר אינוורינטי להזזה ב-
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
.
זוהי סימטריה תחת הזזה
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
שיקוף, וסימטריית שיקוף.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
אם נשקף אובייקט, נקבל אובייקט חדש שהוא סימטרי תחת שיקוף.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
שיקוף הזזה -- הרכבה של הזזה לאורך ישר ושיקוף בישר זה כציר שיקוף.
\end_layout
\begin_layout Theorem
כל תנועה צפידה של המישור היא הזזה, סיבוב, שיקוף או שיקוף והזזה.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
אוריינטציה
\end_layout
\begin_layout Standard
בהנתן בסיס אורתונורמלי סדור של המישור,
\begin_inset Formula $\left\{ e_{1},e_{2}\right\} $
\end_inset
, אזי קיימות שתי אפשרויות:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $e_{2}$
\end_inset
מתקבל מ-
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
על ידי סיבוב ב-
\begin_inset Formula $90^{\circ}$
\end_inset
נגד כיוון השעון.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $e_{2}$
\end_inset
מתקבל מ-
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset
על ידי סיבוב ב-
\begin_inset Formula $90^{\circ}$
\end_inset
בכיוון השעון.
\end_layout
\begin_layout Standard
כל תנועה צפודה תקח בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי.
וקיימת אחת משתי האפשרויות: או ששני הבסיסים הם מאותו סוג, או שהם מסוגים
הפוכים.
\end_layout
\begin_layout Standard
טרנספורמציות צפידות ששומרות על סוג הבסיס, נקראות טרנספורמציות שומרות אוריינטציה,
ואלו שהופכות את הסוג, הן הופכות אוריינטציה.
\end_layout
\begin_layout Standard
ברור כי הזזה וסיבוב הן שומרות אורינטציה, ושיקוף ושיקוף-הזזה הן הופכות אורינטציה.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן, האוריינטציה ממיינת את התנועות, והעתקה
\begin_inset Formula \[
\varphi\mapsto\begin{cases}
+1 & ,\,\varphi\text{\, Preseve oriatnation}\\
-1 & ,\,\varphi\,\text{Reverse oriantation}\end{cases}\]
\end_inset
היא הומאומופריזם
\begin_inset Formula $\sgn:\Iso\left(\RR^{2}\right)\pm1$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $\ker\sgn$
\end_inset
הוא טרנספורמציות שומרות אורינטציה, וטרנספורמציות שומרות אורינטציה הן מאינדקס
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2-
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ב-
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
ייצוג בקוארדינטות:
\end_layout
\begin_layout Itemize
הזזה
\begin_inset Formula \[
\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\end{pmatrix}\xrightarrow{t_{a}}\begin{pmatrix}x_{1}+a_{1}\\
x_{2}+a_{2}\end{pmatrix}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
סיבוב ושיקוף סביב ראשית כמרכז:
\begin_inset Formula $r_{\theta},h_{\theta}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \[
J_{2}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}\\
-x_{2}\end{pmatrix}\]
\end_inset
עד אתה, ראינו כי כל שיקוף הוא מהצורה
\begin_inset Formula $r_{\theta}\cdot J_{2}$
\end_inset
, והחבורה כולה,
\begin_inset Formula \begin{align*}
\Iso\left(\RR^{2}\right) & =\left\{ t_{a}\circ A|a\in\RR^{2},A\in O_{2}\left(\RR\right)\right\} \\
& =\left\{ t_{a}\circ r_{\theta},t_{a}\circ r_{\theta}\circ J_{2}|r_{\theta}\in SO_{2}\left(\RR\right),a\in\RR^{2}\right\} \end{align*}
\end_inset
פירוק זה הוא לשתי המחלקות של חבורת הטרנספורמציות שומרות האוריינטציה.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
במילים אחרות,
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
הוא איחוד זר של מחלקת הטרנספורמציות הופכות האורינטציה וחבורת הטרנספורמציות
שומרות האוריינטציה.
\begin_inset Formula \[
=\left\{ t_{a}\circ r_{\theta}|a\in\RR_{2},\theta\in\left[0,2\pi\right]\right\} \biguplus\left\{ t_{a}\circ r_{\theta}\circ J_{2}|a\in\RR^{2},\theta\in\left[0,2\pi\right]\right\} \]
\end_inset
התוכך של המשפט שלנו הוא שבחבורה
\begin_inset Formula $\left\{ t_{a}\circ r_{\theta}|a\in\RR_{2},\theta\in\left[0,2\pi\right]\right\} $
\end_inset
יש רק סיבובים והזזות ובמחלקה
\begin_inset Formula $\left\{ t_{a}\circ r_{\theta}\circ J_{2}|a\in\RR^{2},\theta\in\left[0,2\pi\right]\right\} $
\end_inset
, יש רק שיקופים ושיקופי-הזזה.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
)המשפט(
\end_layout
\begin_layout Proof
נתחיל מהחבורה של הטנרפסורמציות שומרות האורינטציה.
נעיין בהעתקה כזו, שאיננה הזזה.
אם כן, עלינו להראות שהיא סיבוב, ולשם כך, עלינו למצוא לה נקודת שבת.
לשם כך נציג,
\begin_inset Formula $\varphi=t_{a}\circ r_{\theta}$
\end_inset
, ונניח ש-
\begin_inset Formula $\theta\neq0$
\end_inset
.
נתאר עתה את המצב.
בבנייה הבאה: שבה הבסיס של משולש הוא הוקטור
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
, וזווית הראש היא
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
, השוכנת על הרשית, נקבל את המשולש
\begin_inset Formula $oqp$
\end_inset
.
נקבל כי
\begin_inset Formula \begin{align*}
r_{\theta}p & =q\\
t_{a}q & =t_{r}r_{\theta}p=p\end{align*}
\end_inset
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
נקודת שבת.
נטען, מעכשיו, כי
\begin_inset Formula $t_{a}\circ r_{\theta}$
\end_inset
הוא סיבוב בזווית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
עם
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
כמרכז.
והומנם,
\begin_inset Formula \[
t_{a}r_{\theta}\left(x+p\right)=t_{a}\left(r_{\theta}x+r_{\theta}p\right)=r_{\theta}x+r_{\theta}p+a=r_{\theta}x+p\]
\end_inset
עד כאן הראנו שכל טרנספורמציה צפידה שומרת אורינטציה היא
\series bold
או
\series default
סיבוב
\series bold
או
\series default
הזזה.
\end_layout
\begin_layout Proof
לסיום ההוכחה, עלינו לראות כי כל העתקה הופכת אוריינטציה היא שיקוף או שיקוף-הזזה.
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset
כזו היא מן הצורה:
\begin_inset Formula \[
\psi=t_{a}\circ r_{\theta}\circ J=t_{a}\circ h_{\alpha}\]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $h_{\alpha}$
\end_inset
, שיקוף בישר דרך הראשית.
אם נקח בסיס בו ישר זה הוא ציר
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
, והניצב הוא ציר
\begin_inset Formula $y$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $h_{\alpha}$
\end_inset
מיוצג על ידי
\begin_inset Formula $J_{2}$
\end_inset
, ובקוארדינטות של בסיס זה,
\begin_inset Formula \[
\psi\begin{pmatrix}u\\
v\end{pmatrix}=t_{a}J_{2}\begin{pmatrix}u\\
v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u\\
-v\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_{1}\\
a_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u+a_{1}\\
a_{2}-v\end{pmatrix}\]
\end_inset
לכן, הישר האפיני
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}u\\
\frac{1}{2}a_{2}\end{pmatrix}=\ell$
\end_inset
)
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
-- פרמטר( , יעבור לעצמו תחת
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \[
\psi\begin{pmatrix}u\\
\frac{1}{2}a_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u+a_{1}\\
\frac{1}{2}a_{2}\end{pmatrix}\]
\end_inset
כלומר,
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset
פועלת על ישר זה, המקביל לציר השיקוף של
\begin_inset Formula $h_{\alpha}$
\end_inset
, על ידי הזזה.
\end_layout
\begin_layout Proof
בישר הניצב לישר זה, הרכיב מוכפל ב-
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
החבורה
\begin_inset Formula $\Iso^{0}\left(\RR^{2}\right)=\left\{ t_{a}\circ r_{\theta}|a\in\RR_{2},\theta\in\left[0,2\pi\right]\right\} $
\end_inset
היא תת חבורה נורמלית של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
מאינדקס
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\numeric off
\begin_inset Foot
status open
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $5/11/2009$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
.
ראינו גם כי
\begin_inset Formula $\left\{ t_{a}|a\in\RR^{2}\right\} =V$
\end_inset
היא תת חבורה של
\begin_inset Formula $\Iso^{0}\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, שאיזומורפית ל-
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
תתי חבורות נוספות של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
לכל נקודה
\begin_inset Formula $\RR^{2}\in p$
\end_inset
, קבוצת הטרנספורמציות
\begin_inset Formula $\left\{ \varphi\in\Iso\left(\RR^{2}\right)|\varphi p=p\right\} $
\end_inset
ששומרות את
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
במקומה, היא תת חבורה איזומורפית לחבורה שמייצבת את אפס )שומרת את אפס במקומו(,
שהיא החבורה האורתוגונלית,
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
ניתן הוכחה לכך בהמשך.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
לוח הכפל בחבורת האיזומטריות:
\end_layout
\begin_layout Standard
יהיו
\begin_inset Formula $r_{\theta},h_{\theta}$
\end_inset
טרנספורמציות לינאריות אורתוגונליות.
\begin_inset Formula \begin{align*}
r_{\alpha}\cdot r_{\beta} & =r_{\alpha+\beta}\\
h_{\theta}r_{\alpha}h_{\theta}^{-1} & =r_{-\alpha}\end{align*}
\end_inset
עלינו לבדוק גם את היחס בין הזזה לסיבוב ובין הזזה לשיקוף.
\end_layout
\begin_layout Standard
תהא
\begin_inset Formula $t_{a}$
\end_inset
הזזה בוקטור
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
, ונחשב:
\begin_inset Formula \begin{align*}
r_{\theta}\left(t_{a}\left(v\right)\right) & =r_{\theta}\left(v+a\right)=r_{\theta}v+r_{\theta}a\\
& =t_{r_{\theta}a}\left(r_{\theta}v\right)=t_{r_{\theta}a}\circ r_{\theta}\left(v\right)\end{align*}
\end_inset
או,
\begin_inset Formula \begin{align*}
r_{\theta}\cdot t_{a} & =t_{r_{\theta}a}\circ r_{\theta}\\
r_{\theta}\circ t_{a}\circ r_{\theta}^{-1} & =t_{r_{\theta}a}\end{align*}
\end_inset
למעזה, השתמשנו כאן רק בכך ש-
\begin_inset Formula $r_{\theta}$
\end_inset
לינאריות.
ביתר כלליות,
\end_layout
\begin_layout Standard
אם
\begin_inset Formula $A:\RR^{n}\to\RR^{n}$
\end_inset
לינארית,
\begin_inset Formula $t_{a}$
\end_inset
הזזה על
\begin_inset Formula $\RR^{n}$
\end_inset
בוקטור
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula \[
A\left(t_{a}\left(V\right)\right)=A\left(v+a\right)=Av+Aa=t_{Aa}\left(Av\right)\]
\end_inset
כלומר,
\begin_inset Formula \[
A\circ t_{a}=T_{Aa}\circ A\]
\end_inset
במיוחד, זה נכון עבור שיקופים, נניח ב-
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \[
h_{\theta}t_{a}=t_{h_{\theta}a}\cdot h_{\theta}\]
\end_inset
נזכר שאנו גים יודעים לכפול כל שני שיקופים )זהו סיבוב בזווית
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset
ההפרש(.
מאחר והאיבר הכללי של
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $r_{\theta}\circ t_{a}$
\end_inset
, או
\begin_inset Formula $t_{a}\circ r_{\theta}\circ J_{2}$
\end_inset
, אזי, נוכל לחשב עקרונית כל סידרה של מכפלות.
\end_layout
\begin_layout Standard
חבורת ההזזות
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
היא תת חבורה נורמלית של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, שהרי כל
\begin_inset Formula $\varphi\in\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, מהצורה
\begin_inset Formula $t_{a}\circ A$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
לינארית, ואפילו אורתוגונלית, ולכן,
\begin_inset Formula \begin{align*}
\varphi t_{b}\varphi^{-1} & =t_{a}A\cdot t_{b}\cdot\left(t_{a}A\right)^{-1}=t_{a}At_{b}A^{-1}t_{a}^{-1}\\
& =t_{a}t_{Ab}t_{a}^{-1}=t_{Ab}\end{align*}
\end_inset
כאשר המעבר הראשון בשורה השניה נובע מיחסי החילוף והמעבר השני, מאבליות של
תת-חבורת ההזזות.
לכן,
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
נשארת במקומה תחת הצמדות.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
הצמדות
\end_layout
\begin_layout Remarks
כל הנקודות במישור הן שקולות תחת חבורת האיזומטריות, כלומר: לכל זוג נקודות,
\begin_inset Formula $u,v$
\end_inset
, קיימת איזומטריה
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
כך ש-
\begin_inset Formula $\varphi\left(u\right)=v$
\end_inset
)כמובן:
\begin_inset Formula $\varphi^{-1}\left(v\right)=u$
\end_inset
(.
אומרים שחבורת האיזומטריות פועלת טרנזיטיבית על המישור.
כלומר, בהנתן שתי נקודות,
\begin_inset Formula $u,v$
\end_inset
, את
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
לעיל ניתן אפילו לקחת כהזזה.
\end_layout
\begin_layout Remarks
למעשה, אפילו תת החבורה
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
, ההזזות, פועלת טרנזטיבית על המישור.
\end_layout
\begin_layout Corollary
טרנספורמציה של סיבוב סביב נקודה
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
, היא
\emph on
צמודה
\emph default
בחבורה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, לסיבוב סביב הראשית באותה זווית, ולכן כל שתי טרנספורמציות סיבוב סביב שתי
נקודות כלשהן, באותה זווית סיבוב הן צמודות.
\end_layout
\begin_layout Standard
טרנספורמציית הסיבוב סביב
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
בזווית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
, מקיימת:
\begin_inset Formula \[
R_{\theta}=t_{a}r_{\theta}t_{a}^{-1}\]
\end_inset
באותו אופן,
\end_layout
\begin_layout Standard
ביתר כלליות, תת החבורה שמייצבת את המקודה
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
צמודה לתת החבורה שמייצבת את הנקודה
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
, לכל
\begin_inset Formula $p,q$
\end_inset
.
במיוחד, זה נכון גם לשיקוף: כל שיקוף בישר שבת כלשהו במישור,
\begin_inset Formula $\ell$
\end_inset
, צמוד לשיקוף בציר
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $J_{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם
\begin_inset Formula $\varphi p=p$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $tp=q$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $t\varphi t^{-1}\left(q\right)=q$
\end_inset
ומכאן, שהצמוד על ידי
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
של טרנספורמציה
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
ששומרת על
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
היא טרנספורמציה ששומרת על
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
, או במילים אחרות,
\begin_inset Formula $tG_{p}t^{-1}\subseteq G_{q}$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $G_{p}=\left\{ \varphi\in\Iso|\varphi p=p\right\} $
\end_inset
.
למעשה, יש כאן שיוויון, כי אם
\begin_inset Formula $\psi\in G_{q}$
\end_inset
, אפשר לבדוק בקלות כי
\begin_inset Formula $t^{-1}\psi t=\lambda$
\end_inset
שומרת על
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
, ולכן ב-
\begin_inset Formula $G_{p}$
\end_inset
וקיים כמובן,
\begin_inset Formula $t\lambda t^{-1}=\psi\in G_{q}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
לסיום הדיון במבנה החבורה,
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, נדון במבנה חבורת המנה,
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)/V$
\end_inset
, שהרי
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
תת חבורה נורמלית.
\end_layout
\begin_layout Claim
\begin_inset Formula $\nicefrac{\Iso\left(\RR^{2}\right)}{V}$
\end_inset
איזומורפית ל-
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
, ולמעשה, ההעתקה
\begin_inset Formula $t_{a}\circ A\stackrel{\rho}{\mapsto}A$
\end_inset
על
\begin_inset Formula $\Iso\RR^{2}$
\end_inset
היא ההומומורפיזם הקאנוני.
\end_layout
\begin_layout Standard
)כל
\begin_inset Formula $\varphi\in\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
הוא מהצורה
\begin_inset Formula $\varphi=t_{a}\cdot A$
\end_inset
ביחידות.( .
ההומומורפיזם הקאנוני,
\begin_inset Formula $\pi:G\to\nicefrac{G}{N}$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $\pi\left(g\right)=gN$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
מדוע
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
הומומורפיזם?
\begin_inset Formula \[
\rho\left(t_{a}\circ A\circ t_{b}\circ B\right)=\rho\left(t_{a}t_{Ab}Ab\right)=\rho\left(t_{a+Ab}\left(AB\right)\right)=\rho\left(t_{a}\circ A\right)\rho\left(t_{b}\circ B\right)\]
\end_inset
כלומר הוא הומומורפזים.
\begin_inset Formula \[
\ker\rho=\left\{ t_{a}\circ A|\rho\left(t_{a}\circ A\right)=I=A\right\} =V\]
\end_inset
זהו אפימורפיזם )הומומורפיזם על(, ולכן
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
היא העתקה הקאנונית.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן, ראינו ש-
\begin_inset Formula $\RR^{2}\cong V$
\end_inset
היא תת חבורה נורמלית של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)\cong\nicefrac{\Iso\left(\RR^{2}\right)}{V}$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
היא כמובת גם תת חבורה של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, וצמצום
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
לתת חבורה זו הוא הזהות.
כלומר, סיבוב
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
סביב נקודה כלשהי במישור עובר תחת
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
לטרנספורמציה ארותוגונלית
\begin_inset Formula $r_{\theta}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
תתי חבורות סופיות של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
נתחיל מהחבורה האורתוגונלית.
\begin_inset Formula \[
C_{n}=\left\langle r_{2\pi/n}^{k},0\leq k\leq n-1\right\rangle \]
\end_inset
חבורה זו היא חלק מחבורת הסימטריות של מצולע בן
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
צלעות.
למשל, שיקוף בציר
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
גם שומר על המשושה.
אם כן, השיקוף
\begin_inset Formula $J_{2}$
\end_inset
בציר ה-
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
הוא חלק מחבורת הסימטריות של המשושה.
באופן כללי, נסמן את חבורת הסימטריות של המצולע המשוכלל בן
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
צלעות ב-
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
כדי למיין את תתי החבורות הסופיות נלך בשני שלבים.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
נוכיח כי לכל תת חבורה סופית
\begin_inset Formula $G\subseteq\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, יש נקודת שבת משותפת,
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
.
כלומר,
\begin_inset Formula $G\subseteq G_{p}$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
צמודה לתת חבורה סופית של
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
, שהרי
\begin_inset Formula $G_{p}$
\end_inset
צמודה ל-
\begin_inset Formula $\opr$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
נמיין תתי חבורות סופיות ב-
\begin_inset Formula $\opr$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Proof
)לטענה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\numeric off
.(
\end_layout
\begin_layout Proof
תהא
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
נקודה כלשהי במישור.
נעיין בקבוצת הנקודות
\begin_inset Formula $\left\{ gq\right\} $
\end_inset
, כך ש-
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
.
כלומר, אם
\begin_inset Formula $G=\left\{ g_{1},\ldots,g_{n}\right\} $
\end_inset
אזי
\begin_inset Formula $C=\left\{ g_{1}q,\ldots,g_{n}q\right\} $
\end_inset
.
לקבוצה
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
יש את התכונה, שהיא אינוורינטית תחת
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula $gC=C$
\end_inset
, לכל
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
.
נראה כי מרכז הכובד של
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \[
p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}g_{i}q\]
\end_inset
היא נקודה
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטית.
אם
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
היא טרנספורמציה לינארית, אזי הטענה היא מיידית:
\begin_inset Formula \[
gp=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}gg_{i}q=\frac{1}{n}\sum_{j}g_{j}q=p\]
\end_inset
)מאחר כן-
\begin_inset Formula $gg_{i}\in G$
\end_inset
, ולכן זו פרמוטציה על אברי החבורה(.
\end_layout
\begin_layout Proof
ביתר כלליות, אם
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
טרנספורמציה צפידה כלשהי, אז
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
לוקחת את מרכז הכובד של
\begin_inset Formula $x_{1},\ldots,x_{n}$
\end_inset
למרכז הכובד של
\begin_inset Formula $\varphi\left(x_{1}\right),\ldots,\varphi\left(x_{n}\right)$
\end_inset
.
שהרי אם
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
לינארית זה ברור ואם
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
הזזזה , נניח
\begin_inset Formula $\varphi=t_{a}$
\end_inset
, אזי,
\begin_inset Formula \[
t_{a}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)+a=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+a\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}t_{a}\left(x_{i}\right)\]
\end_inset
לכן, גם הרכבות
\begin_inset Formula $t_{a}\circ A$
\end_inset
בעלת תכונה זו, ולכן, כל טרנספורמציה צפידה, ובמיוחדת טרנספורמציה צפידה שומרת
על קבוצה סופית אינוורינטית, כי היא בהכרח שומרת על מרכז הכובד שלה במקומו.
\end_layout
\begin_layout Proof
אנו מסיקים שלכל חבורה סופית של טרנספורמציות צפידות, יש נקודת שבת.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Paragraph
שלב
\family roman
\series bold
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\numeric off
:
\end_layout
\begin_layout Standard
אם נתון ש-
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
שומרת על הקבוצה הסופית
\begin_inset Formula $x_{1},\ldots.x_{n}$
\end_inset
אינוורינטית, כלומר,
\begin_inset Formula \[
\left\{ gx_{i}\right\} _{i=1}^{n}=\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{n}\]
\end_inset
כלומר,
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
פועלת כתמורה על
\begin_inset Formula $\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{n}$
\end_inset
, אז מרכז הכובד של
\begin_inset Formula $\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{n}$
\end_inset
הוא נקודת שבת של
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
בהנתן חבורה
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $x\in\RR^{2}$
\end_inset
כלשהו, אזי
\begin_inset Formula $\left\{ gx|g\in G\right\} =O$
\end_inset
, המסלול של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
תחת
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, היא קבוצה סופית שאינוורינטית תחת כל
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
.
ואכן,
\begin_inset Formula $\left\{ \left(gh\right)x|h\in G\right\} =\left\{ hx|h\in G\right\} $
\end_inset
, אז לכן, מאחר ש-
\begin_inset Formula $O$
\end_inset
סופית ו-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטית, אז מרכז הכובד של
\begin_inset Formula $O$
\end_inset
הוא נקות שבת של כל אברי
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, כלומר, נקודה
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
, אינוורינטית.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
צמודה לתת חבורה של
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
, כי המייצב של מרכז הכובד
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
, צמוד ל-
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
ראינו כי החבורה המייצבת נקודה כלשהי צמודה לחבורה שמייצבת את אפס, כלומר,
ל-
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Paragraph
מהם תתי החבורות הסופיות של
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
?
\end_layout
\begin_layout Claim
כל תת חבורה סופית של
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
איזומורפית ל-
\begin_inset Formula $C_{n}$
\end_inset
או ל-
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset
.
\begin_inset Formula \[
C_{n}=\set{r_{2\pi k/n}|0\leq k\leq n-1}\]
\end_inset
החבורה הציקלית מסדר
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
, או
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset
, החבורה הידהדרית, השומרת מצולע משוכלל בין שני צלעות.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
נניח
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
סופית, ו-
\begin_inset Formula $G\subseteq SO_{2}\left(\mathbb{R}\right)$
\end_inset
, כלומר, כל אברי
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
הם סיבובים.
יהא
\begin_inset Formula $r_{\theta}\in G$
\end_inset
סיבוב בזווית מינימלית.
אזי,
\begin_inset Formula $G=\left\langle r_{\theta}\right\rangle $
\end_inset
.
לא ניתן להתקרב לציר
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
, בזווית קטנה מ-
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
, כי אז ניתן היה להפעיל את
\begin_inset Formula $r_{\theta}$
\end_inset
, ולקבל זווית קטנה יותר.
לו היתה בחבורה נקודה שאינה נוצרת על ידי
\begin_inset Formula $r_{\theta}$
\end_inset
, אז היה ניתן להזיזה על ידי
\begin_inset Formula $r_{\theta}$
\end_inset
, ולקבל זווית קטנה יותר.
\begin_inset Formula $\theta=\frac{2\pi}{n}$
\end_inset
היא כפולה רציונאלית של
\begin_inset Formula $2\pi$
\end_inset
, ממינימליות
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
סופית כלשהי, ונניח שאיננה מוכלת ב-
\begin_inset Formula $SO_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $\det:G\to\left\{ \pm1\right\} $
\end_inset
היא על, ואם כן,
\begin_inset Formula \[
\ker\det=C_{n}\]
\end_inset
היא חבורה ציקלית של סיבובים, ובנוסף, היא מאינדקס
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\numeric off
.
אם כן,
\begin_inset Formula \[
G=C\amalg Ch\]
\end_inset
)איחוד זר( כאשר
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
שיקוף בישר מסויים.
נגדיר
\begin_inset Formula \[
E_{n}=Cv\]
\end_inset
כלומר, המסלול של הוקטור
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
תחת חבורת הסיבובים
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
, ונראה את
\begin_inset Formula $E_{n}$
\end_inset
כמצולע משוכלל, בעל
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
צלעות.
נראה עתה כי
\begin_inset Formula $h$
\end_inset
שומר על
\begin_inset Formula $E_{n}$
\end_inset
אינוורינטי, כאשר בחרנו את
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
כוקטור יחידה על ישר השבת של
\begin_inset Formula $h$
\end_inset
.
מאחר ש-
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
נורמלית )כי היא מאינדקס
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\numeric off
( אז
\begin_inset Formula $hCh^{-1}=C$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula \[
\left(hCh^{-1}\right)\cdot v=h\left(Cv\right)=Cv\]
\end_inset
)מאחר ו-
\begin_inset Formula $h^{-1}v=v$
\end_inset
, לפי הבחירה של
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
(.
לכן,
\begin_inset Formula $E_{n}$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $h$
\end_inset
-אינוורינטי.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Paragraph
מבנה החבורה הדיהדרית,
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset
, באופן מופשט
\end_layout
\begin_layout Standard
באופן כללי,
\begin_inset Formula \[
D_{n}=C\amalg Ch\]
\end_inset
נוכל לקחת את
\begin_inset Formula $x=r_{\theta}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $y=h$
\end_inset
, אזי,
\begin_inset Formula \[
\tilde{D}_{n}=\left\langle x,y|x^{n}=e=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\right\rangle \]
\end_inset
כאשר היחס האחרון הוא היחס:
\begin_inset Formula $hr_{\theta}h^{-1}=r_{-\theta}$
\end_inset
.
ובייצוג זה, אברי
\begin_inset Formula $\tilde{D}_{n}$
\end_inset
הם
\begin_inset Formula $\begin{array}{cc}
e,x,x^{2},\ldots,x^{n-1},y & \left(=C\right)\\
xy,\ldots,x^{n-1}y & \left(=Ch\right)\end{array}$
\end_inset
וב-
\begin_inset Formula $\tilde{D}_{n}$
\end_inset
יש
\begin_inset Formula $2n$
\end_inset
איברים.
\begin_inset Formula $\tilde{D}_{n}$
\end_inset
איזומורפית ל-
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Remarks
עקבויות: נדרוש למשל,
\begin_inset Formula $\left\langle x|x^{2}=e=x^{3}\right\rangle =\left\{ e\right\} $
\end_inset
.
באופן כללי, אם נגדיר חבורה באמצעות יוצאים ויחסים, קשה מאוד לבדוק האם החבורה
היא חבורה טריוויאלית.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
חבורות דיסקרטיות
\end_layout
\begin_layout Standard
תהה
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)\supseteq\Gamma$
\end_inset
.
נאמר כי
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
דיסקרטית אם כל סיבוב ב-
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
הוא סיבוב בזווית
\begin_inset Formula $\eps\leq$
\end_inset
, וכל הזזה ב-
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
היא הזזה למרחק
\begin_inset Formula $\eps\leq$
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $\eps>0$
\end_inset
הוא מספר חיובי קבוע.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
דוגמא
\end_layout
\begin_layout Standard
נניח יש
\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
\end_inset
, שהוא שומר על
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\numeric off
.
אזי
\begin_inset Formula $\left\{ \gamma^{n}|n\in\mathbb{Z}\right\} \subseteq\Gamma$
\end_inset
.
נניח
\begin_inset Formula $\gamma\in r_{\alpha}$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $r_{n\alpha}\in\Gamma$
\end_inset
.
כאן, החבורה
\begin_inset Formula $\gamma\cup O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
דיסקרטית, אם ורק אם
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
כפולה רציונאלית של
\begin_inset Formula $2\pi$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
נכניס שני מושגים:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
חבורת ההזזות של
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
:
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
נקרא ל-
\lang english
Point group
\lang hebrew
, החבורה הנקודתית של
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
, שהיא תמונתה של
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
תחת הצמצום ל-
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
של ההומומואפיזם:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\Pi:\Iso\left(\RR^{2}\right) & \to O_{2}\left(\RR\right)\\
t_{a}\circ A & \mapsto A\qquad A\in O_{2}\left(\RR\right)\end{align*}
\end_inset
היא הומומורפיזם אם גרעין שהוא
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
, חבורת ההזזות.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
החבורה הנקודתית היא חבורת מנה של
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
, ולמעשה, איזומורפית ל-
\begin_inset Formula $\nicefrac{\Gamma}{\Gamma\cap V}$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Standard
אנו מעוניינים להבין תתי החבורות הדיסקרטיות של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
.
ראינו כי תתי החבורות הדיסקרטיות של
\begin_inset Formula $\opr$
\end_inset
, הן בדיוק החבורות הסופיות, ונמצא עתה את תתי החבורות הדיסקרטיות של חבורת
ההזזות
\begin_inset Formula $\RR^{2}\cong V$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Claim
תהא
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
תת חבורה דיסקרטית של
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
או
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
אזי,
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $L=\left\{ 0\right\} $
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $L=\left\{ na_{0}|n\in\mathbb{Z}\right\} $
\end_inset
, כל הכפולות של וקטור
\begin_inset Formula $a_{0}\neq0$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
קיימים שני וקטורים בלתי תלויים לינארית,
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset
כך ש-
\begin_inset Formula $L=\left\{ na_{0}+mb_{0}|\left(n,m\right)\in\mathbb{Z}^{2}\right\} $
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Standard
למשל,
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{2}\subseteq\RR^{2}$
\end_inset
תת חבורה דיסקרטית.
אם
\begin_inset Formula $a_{0},b_{0}$
\end_inset
הם בלתי תלויים לינארית, אזי
\begin_inset Formula $\left\{ na_{0}+mb_{0}|\left(n,m\right)\in\mathbb{Z}^{2}\right\} $
\end_inset
היא תת חבורה דיסקרטית של
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
, הנקראת סריג, ואבריה מייצרים ריצוף המישור על ידי מקבילית.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כך, הטענה אומרת שכל תת חבורה דיסקרטית של
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
, שאיננה מוכלת בישר, היא סריג.
\end_layout
\begin_layout Proof
נניח
\begin_inset Formula $L\ni a\neq0$
\end_inset
, נסתכל על
\begin_inset Formula $\ell=\RR a$
\end_inset
, ויהא
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
וקטור מאורך מינימלי חיובי ב-
\begin_inset Formula $L\cap\ell$
\end_inset
, ויש כזה כי
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
דיסקרטי.
אזי, או ש-
\begin_inset Formula $L=\mathbb{Z}\cdot a_{0}$
\end_inset
, או שיש וקטור נוסף
\begin_inset Formula $v\in L$
\end_inset
מחוץ ל-
\begin_inset Formula $\ell$
\end_inset
, כי אם אין וקטור נוסף,
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
כזה, אזי
\begin_inset Formula $L\subseteq L$
\end_inset
, ואזי אם יש וקטור
\begin_inset Formula $c\in\ell\backslash\mathbb{Z}a_{0}$
\end_inset
, אזי ל-
\begin_inset Formula $c-na_{0}$
\end_inset
יהיה אורך קטן מ-
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
, וזו סתירה.
\end_layout
\begin_layout Proof
נתון עתה זוג,
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
, שהוא בעל אורך מינימלי בישר
\begin_inset Formula $\ell$
\end_inset
שהוא פורש, חיתוך עם
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
, ווקטור נוסף,
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
, בלתי תלוי.
נעיין במקבילית
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
שנפרשת על ידי
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
ובה יש מספר סופי בלבד של אברי
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Remarks
למעשה, בכל קבוצה קומפקטית
\begin_inset Formula $K$
\end_inset
של
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
, יש מספר סופי מאברי
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
.
אחרת, אם
\begin_inset Formula $x_{n}\in K\cap L$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $x_{n}\to x$
\end_inset
, ולכן האיברים
\begin_inset Formula $x_{n}-x_{m}$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $n\neq m$
\end_inset
, הם שונים מאפס ויש להם תת-סידרה שמתכנסת ל-
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
, אבל תת סידרה זו היא ב-
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
.
זאת סתירה לדיסקרטיות של
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
מתוך הקבוצה האינסופית
\begin_inset Formula $L\cap P$
\end_inset
, נבחר איבר
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset
, שמרחקו מהישר
\begin_inset Formula $\ell=\RR a_{0}$
\end_inset
הוא מינימלי.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
המלבן
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset
שנפרש על ידי
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
אינו מכיל שום איבר נוסף של
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
.
כדי לראות זאת, נשים לב כי נקודה ב-
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
שהיא ב-
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset
, הגובה שלה מעל הישר
\begin_inset Formula $\ell$
\end_inset
חייב להיות הגובה של
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset
, וזאת משום ש-
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset
נבחר להיות בעל הגובה המינימלי.
ולכן, בין אם הנקודה ב-
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset
ובין אם היא ב-
\begin_inset Formula $Q'$
\end_inset
)הקטעים יחסית למקביל ל-
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
שיוצא מ-
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
(, הגובה שלה חייב להתלכד עם הגובה של
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset
.
אם היא ב-
\begin_inset Formula $Q'$
\end_inset
, נשתמש בהזזה ב-
\begin_inset Formula $-a_{0}$
\end_inset
.
לכן הנקודה חייבת להיות על
\begin_inset Formula $\left[0,a_{0}\right]$
\end_inset
או על
\begin_inset Formula $\left[b_{0},b_{0}+a_{0}\right]$
\end_inset
, ושני המקרים יובילו לכך שמצאנו על
\begin_inset Formula $\left[0,a_{0}\right]$
\end_inset
נקודה שקרובה ל-
\numeric on
0
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
יותר מ-
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
, וזו סתירה לבחירת
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
לכן, הנקודה היא בהכרח
\begin_inset Formula $a_{0}+b_{0}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
כדי לסיים את הוכחת הטענה, נוכיח:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Claim
יהא
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
סריג,
\begin_inset Formula $a_{0},b_{0}\in L$
\end_inset
, וקטורים בלתי תלויים.
אם במקבילית
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset
הבנויה על
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset
אין איבר נוסף של
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
, אזי,
\begin_inset Formula \[
L=\left\{ na_{0}+mb_{0}|\left(n,m\right)\in\mathbb{Z}^{2}\right\} \]
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Proof
באנלוגיה למימד אחד: אם
\begin_inset Formula $v\in L$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $v=na_{0}+mb_{0}+\alpha a_{0}+\beta b_{0}$
\end_inset
כי
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
צירוף לינארי של
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset
, ונוכל להניח ש-
\begin_inset Formula $0\leq\alpha,\beta<1$
\end_inset
.
לכן,
\begin_inset Formula \begin{align*}
v-\left(na_{0}+mb_{0}\right) & \in L\\
& =\alpha a_{0}+\beta a_{0}\in L\cap P_{0}\end{align*}
\end_inset
על כן, על פי ההנחה על
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset
, זהו קודקוד האפס.
\end_layout
\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Standard
מצאנו את תת החבורות הדיסקרטיות של
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
ושל
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
.
בהנתן תת חבורה דיסקרטית
\begin_inset Formula $\Gamma\subseteq\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V$
\end_inset
היא תת חבורה דיסקרטית של
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
.
בנוסף, יש לנו את
\begin_inset Formula $\nicefrac{\Gamma}{\Gamma\cap V}$
\end_inset
, החבורה הנקודתית, והיינו רוצים להבין כיצד
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
נבנית משני החלקים הללו.
\end_layout
\begin_layout Claim
אם
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
דיסקרטית, אזי גם תמונתה תחת
\begin_inset Formula $\Pi$
\end_inset
, החבורה הנקודתית, היא דיסקרטית ב-
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
ביתר פירוט, כל
\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
\end_inset
, מהצורה
\begin_inset Formula $\gamma=t_{a}\cdot r_{\theta}\cdot h$
\end_inset
.
ואוסף הטרנספורמציות האורתוגונליות,
\begin_inset Formula $r_{\theta}\cdot h$
\end_inset
היא תת חבורה סופית של
\begin_inset Formula $O_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
ראינו כל טרנספורמציה
\begin_inset Formula $t_{a}r_{\theta}$
\end_inset
היא סיבוב סביב נקודת שבת
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
, בזווית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
)כאשר
\begin_inset Formula $\theta\neq0$
\end_inset
( .
אם כן, הנחת הדיסקרטיות על
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset
, אומרת כי כל ה-
\begin_inset Formula $r_{\theta}$
\end_inset
המתקבלים, הם בזווית
\begin_inset Formula $\theta\geq\eps$
\end_inset
ולכן, זו חבורה סופית של סיבובים, ולכן החבורה הנקודתית של
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset
היא סופית.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
חבורת סיבובים סריגיים
\end_layout
\begin_layout Claim
תהא
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
תת חבורה דיסקרטית של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
.
נסמן ב-
\begin_inset Formula $\nicefrac{G}{\Gamma\cap V}=G$
\end_inset
החבורה הנקודתית.
נזהה אותה עם חבורה סופית של טרנסופרמציות אורתוגונליות, תת חבורה של
\begin_inset Formula $\opr$
\end_inset
.
חבורה זו פועלת על המישור, ובמישור מופיעה תת-החבורה הדיסקרטית,
\begin_inset Formula $L=\Gamma\cap V$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Claim
\series bold
קיים
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
\series default
אינוורינטית תחת
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
: לכל
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $v\in L$
\end_inset
, כיים
\begin_inset Formula $gv\in L$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
יהא
\begin_inset Formula $v\in L$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula $t_{v}\in\Gamma\cap V$
\end_inset
.
אם
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
, אזי קיים
\begin_inset Formula $\tilde{g}\in\Gamma$
\end_inset
, , שהיא מקור שלה תחת ההומומורפיזם הקאנוני.
נרשום:
\begin_inset Formula \[
\tilde{g}=t_{b}\circ g\]
\end_inset
ואזי, קיים, מאחר ו-
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V$
\end_inset
נורמלית ב-
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
, ולכן
\begin_inset Formula \[
\tilde{g}t_{v}\tilde{g}^{-1}=t_{b}gt_{v}g^{-1}t_{b}^{-1}=t_{b}t_{gv}t_{b}^{-1}=t_{gv}\in\Gamma\cap V=L\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Proof
כלומר, הסריג שלנו הוא אינוורינטי תחת הצמדות.
\end_layout
\begin_layout Claim
\begin_inset Foot
status open
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $19/11/2009$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
תהא
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
תת חבורה דיסקרטית של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, כך ש-
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V$
\end_inset
סריג.
אזי, החבורה הנקודתית של
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
, שנסמן ב-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, היא,
\begin_inset Formula \begin{align*}
\left\{ e\right\} ,C_{2},C_{3},C_{4},C_{6}\\
D_{4},D_{3},D_{4},D_{6}\end{align*}
\end_inset
וזהו!
\begin_inset Foot
status open
\begin_layout Plain Layout
ראה הצהרה כזו במצב מוצק
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
במיוחד, סדרי האיברים האפשריים בחבורה הנקודתית הם
\begin_inset Formula $1,2,3,4,6$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
יהא
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
וקטור בעל אורך מינימלי )
\begin_inset Formula $\neq0$
\end_inset
( בסריג
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V=L$
\end_inset
.
תהא
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
זווית הסיבוב המינימלית )
\begin_inset Formula $\neq0$
\end_inset
( בחבורה הנקודתית,
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
.
אזי,
\begin_inset Formula $t_{a}\in L$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $r_{\theta}\in G$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula $r_{\theta}a\in L$
\end_inset
כי
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינט.
לכן, הוקטור
\begin_inset Formula $r_{\theta}a-a$
\end_inset
, גם בסריג
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
.
אם כן,
\begin_inset Formula $\norm{r_{\theta}a-a}\geq\norm a$
\end_inset
, כי-
\begin_inset Formula $\norm a$
\end_inset
מינימלית בסריג, ולכן, במשולש שווה השוקיים עם זווית ראש
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
, ושוקיים
\begin_inset Formula $a,r_{\theta}a$
\end_inset
, נקבל כי
\begin_inset Formula $\theta\geq60^{\circ}$
\end_inset
.
אם כן, מבחינת סדרי האיברים ב-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, נוכל לקבל רק סדרים
\begin_inset Formula $6\geq$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
נותר לנו לפסול תתי חבורות מסדר
\begin_inset Formula $5$
\end_inset
.
נסתכל על הוקטור
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
, ונסובבו ב-
\begin_inset Formula $\frac{2\pi}{5}=72^{\circ}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $r_{\theta}a$
\end_inset
ופרם נוספת, לקבלת
\begin_inset Formula $r_{2\theta}a$
\end_inset
.
אבל גם
\begin_inset Formula $-a$
\end_inset
הוא בסריג, ואילו הזווית בין
\begin_inset Formula $r_{2\theta}a$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $-a$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $36^{\circ}$
\end_inset
! במשולש עם צלעות
\begin_inset Formula $r_{2\pi/5}^{2}a$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $-a$
\end_inset
, הוקטור
\begin_inset Formula $r_{2\pi/5}^{2}a-\left(-a\right)$
\end_inset
הוא בסריג, כי הסריג הוא
\begin_inset Formula $r_{2\pi/5}$
\end_inset
אינוורינטי, ואורכו קטן מאורך
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
.
איסור זה מכונה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Forbidden 5-fold symmetry
\lang hebrew
.
\end_layout
\begin_layout Claim
יש
\emph on
בדיוק
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
17
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
תתי-חבורות דיסקרטיות של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, שחבורת ההזזות שלהן היא סריג.
)עד כדי שקילות(
\end_layout
\begin_layout Subsection
פעולות של חבורות
\end_layout
\begin_layout Definition
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חבורה כלשהי ו-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
מרחב כלשהו.
\series bold
פעולה
\series default
של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
היא התאמה מ-
\begin_inset Formula $G\times X\to X$
\end_inset
, המסומנת
\begin_inset Formula $\left(g,x\right)\mapsto gx=y$
\end_inset
ומקיימת:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\left(e,x\right)\to x$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\left(g_{1}g_{2},x\right)\to g_{1}\left(g_{2}x\right)$
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Standard
במילים אחרות: לכל
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
, אנו מתאימים פונקציע
\begin_inset Formula $\varphi_{g}:X\to X$
\end_inset
, על ידי
\begin_inset Formula $\varphi_{g}\left(x\right)=gx$
\end_inset
.
התכונות
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ו-
\numeric on
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
גוררות כי:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
כל
\begin_inset Formula $\varphi_{g}$
\end_inset
היא פונקציה חח"ע ועל, ו-
\begin_inset Formula $\varphi_{g}^{-1}=\varphi_{g^{-1}}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
ההעתקה מ-
\begin_inset Formula $g\mapsto\varphi_{g}$
\end_inset
הוא הומומורפיזם מ-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $S\left(X\right)$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $S\left(X\right)$
\end_inset
היא חבורת התמורות על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
ואכן,
\begin_inset Formula $g\left(g^{-1}x\right)=ex=x=g^{-1}gx$
\end_inset
על פי ההנחות על הפעולה, ולכן,
\begin_inset Formula $\varphi_{g}^{-1}=\varphi_{g^{-1}}$
\end_inset
.
לכן, הטרנספורמציה
\begin_inset Formula $x\stackrel{\varphi_{g}}{\mapsto}gx$
\end_inset
היא הפיכה, עם הופכי
\begin_inset Formula $\varphi_{g^{-1}}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
ובנוסף,
\begin_inset Formula $g_{1}\left(g_{2}x\right)=\left(g_{1}g_{2}\right)x$
\end_inset
, ומשוואה זו גוררת כי
\begin_inset Formula $\varphi_{g_{1}}\varphi_{g_{2}}\left(x\right)=\varphi_{g_{1}}\left(g_{2}x\right)=\varphi_{g_{1}g_{2}}\left(x\right)$
\end_inset
כלומר,
\begin_inset Formula $\varphi_{g_{1}g_{2}}=\varphi_{g_{1}}\circ\varphi_{g_{2}}$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula $g\mapsto\varphi_{g}$
\end_inset
היא הומומורפיזם.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
דוגמאות
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $G=GL_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $X=\RR^{2}$
\end_inset
.
נגדיר
\begin_inset Formula \begin{align*}
G\times X & \to X\\
\left(A,v\right) & \mapsto Av\end{align*}
\end_inset
כמובן, לכל
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
נתון,
\begin_inset Formula $A:\RR^{2}\to\RR^{2}$
\end_inset
היא העתקה הפיכה,
\begin_inset Formula $\varphi_{A}$
\end_inset
, וקיים:
\begin_inset Formula $\varphi_{AB}=\varphi_{A}\varphi_{B}$
\end_inset
)אסוציאטיביות של כפל מטריצות(, כלמר,
\begin_inset Formula $\left(AB\right)v=A\left(Bb\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $G=S_{n}$
\end_inset
, חבורת התמורות על
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
עצמים, ו-
\begin_inset Formula $X=\left\{ 1,2,\ldots,n\right\} $
\end_inset
.
\begin_inset Formula \begin{align*}
G\times X & \to X\\
\left(\sigma,i\right) & =\sigma i\end{align*}
\end_inset
כלומר, הפעלת התמורה על האיבר ה-
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset
פועלת ב-
\begin_inset Formula $\left\{ 1,\ldots,n\right\} $
\end_inset
.
כאן, ההומומורפיזם
\begin_inset Formula $\varphi:S_{n}\to S\left(\left\{ 1,\ldots,n\right\} \right)$
\end_inset
הוא הזהות.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X=\left\{ \left(x,y\right)|1\leq i,j\leq n\right\} $
\end_inset
, אפשר לקחת גם את
\begin_inset Formula $X'=\left\{ \left(i,j\right)\in X|i\neq j\right\} $
\end_inset
.
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset
פועלת ב-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
וב-
\begin_inset Formula $X'$
\end_inset
על ידי :
\begin_inset Formula \[
\left(\sigma,\left(i,j\right)\right)=\left(\sigma i,\sigma j\right)\]
\end_inset
זוהי העתקה,
\begin_inset Formula $\varphi_{\sigma}:X\to X$
\end_inset
או
\begin_inset Formula $\varphi_{\sigma}:X'\to X'$
\end_inset
, וכאן,
\begin_inset Formula $\varphi:S_{n}\to S\left(X'\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X=\RR^{2}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $G=\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $\left(T,v\right)\to Tv$
\end_inset
.
כל
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
\begin_inset Formula $T:\RR^{2}\to\RR^{2}$
\end_inset
הוא תמורה, ו-
\begin_inset Formula $T_{1}\left(T_{2}v\right)=\left(T_{1}T_{2}\right)v$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $D_{n}\subseteq\Iso\left(\RR^{2}\right)$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $E_{n}$
\end_inset
הוא מצולע משוכלל בן
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
צלעות עם מרכז בראשית, אז
\begin_inset Formula $E_{n}$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset
אינוורינטי ו-
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset
פועלת על
\begin_inset Formula $E_{n}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
למשל, אם
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
היא קבוצת קודקודי
\begin_inset Formula $E_{n}$
\end_inset
,אז
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset
פועלת ב-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Remarks
המושג של פעולה של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
שקול למושג של הומומורפיזם
\begin_inset Formula $\varphi:G\to S\left(X\right)$
\end_inset
, חבורת התמורות על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
, שהרי, בהנתן הומומורפיזם
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
כזה, נגדיר
\begin_inset Formula $t:G\times X\to X$
\end_inset
, על ידי
\begin_inset Formula \[
t\left(g,x\right)=\varphi_{g}\left(x\right)\]
\end_inset
וקיים:
\begin_inset Formula $t\left(e,x\right)=x$
\end_inset
, מאחר וכל המומומורפיזם לוקח את היחידה לאחד,
\begin_inset Formula $\varphi_{e}=I$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $t\left(g_{1},t\left(g_{2},x\right)\right)=t\left(g_{1},g_{2},x\right)$
\end_inset
\begin_inset Formula \begin{align*}
t\left(g_{1}g_{2},x\right) & =\varphi_{g_{1}g_{2}}\left(x\right)=\varphi_{g_{1}}\circ\varphi_{g_{2}}\left(x\right)\\
& =\varphi_{g_{1}}\left(\varphi_{g_{2}}\left(x\right)\right)=t\left(g_{1},t\left(g_{2},x\right)\right)\end{align*}
\end_inset
ולהפך, כמו שראינו, אם
\begin_inset Formula $t:G\times X\to X$
\end_inset
מקיימת את )
\numeric on
1
\numeric off
( ו-)
\numeric on
2
\numeric off
(, אזי
\begin_inset Formula $t\left(g,\cdot\right)=\varphi_{g}$
\end_inset
היא העתקה
\begin_inset Formula $\varphi_{g}X\to X$
\end_inset
חח"ע ועל עם הופכי
\begin_inset Formula $\varphi_{g^{-1}}$
\end_inset
וקיים
\begin_inset Formula $g\mapsto\varphi_{g}$
\end_inset
הומומורפיזם
\begin_inset Formula $\varphi:G\to S\left(X\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Definition
\series bold
מסלולים
\series default
של פעולה של חבורה
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
המסלול של איבר
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $\left\{ gx|g\in G\right\} $
\end_inset
.
יסומן ב-
\begin_inset Formula $O\left(x\right)$
\end_inset
או ב-
\begin_inset Formula $G\left(x\right)$
\end_inset
, המסלול של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
תחת
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
תת קבוצה
\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
\end_inset
נקראת
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-
\series bold
אינוורינטית
\series default
אם
\begin_inset Formula $gY=Y$
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
.
כלומר, לכל
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
מתקיים:
\begin_inset Formula $gy\in Y$
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
כמובן שמסלול הוא תת קבוצה אינוורינטית: ההעתקה
\begin_inset Formula $g\mapsto hg$
\end_inset
היא תמורה על
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula $\left\{ gX|g\in G\right\} =\left\{ hgX|g\in G\right\} =h\left\{ gX|g\in G\right\} $
\end_inset
.
או,
\begin_inset Formula $hO_{x}=O_{x}$
\end_inset
, המסלול
\begin_inset Formula $h$
\end_inset
-אינוורינטי לכל
\begin_inset Formula $h\in G$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $O\left(x\right)$
\end_inset
היא הקבוצה ה-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
אינוורינטית המינימלית המכילה את
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
יהא
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset
.
החבורה
\series bold
המייצבת
\series default
את
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
, היא
\begin_inset Formula $\st_{G}\left(x\right)=\left\{ g\in G|gx=x\right\} $
\end_inset
.
)
\lang english
Stability group of x
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang hebrew
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
( .
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
כלומר, המייצב של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, היא תת החבורה ששומרת על
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
במקומו, כלומר, כל הטרנספורמציות ב-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, ש-
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
היא נקודת שבת שלהן.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Claim
היחס על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
לפי
\begin_inset Formula $X\underset{G}{\sim}y$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $y$
\end_inset
הם באותו מסלול.
מחלקות השקילות הם מסלולי
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
.
כל מחלקת שקילות לכן היא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטית וקבוצה
\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
\end_inset
היא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
אינוורינטית
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
היא איחוד של מסלולים, או מחלקות שקילות.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $x\sim y$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
קיים
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
כך ש-
\begin_inset Formula $gx=y$
\end_inset
.
זהו יחס רפלקסיבי וסימטרי וטרנזטיבי כי אם
\begin_inset Formula $gx=y$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $hy=z$
\end_inset
אזי
\begin_inset Formula $hgx=z$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout --Separator--
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
)למשפט לגרנז' מתורת החבורות(
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $G=X$
\end_inset
חבורה סופית,
\begin_inset Formula $G\subseteq G$
\end_inset
תת חבורה,
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
פועלת ב-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, על ידי הזזה,
\begin_inset Formula $\left(h,g\right)=gh$
\end_inset
.
\begin_inset Formula \[
\left(h_{1}h_{2},g\right)=h_{1}h_{2}g=h_{1}\left(h_{2}g\right)\]
\end_inset
המסלול של
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
תחת
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $Hg$
\end_inset
.
כל מסלול הוא בן ואתו מספר איברים בדיוק.
לכן,
\begin_inset Formula \[
G=\amalg_{i=1}^{N}H_{h_{i}}\]
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula \[
\left|G\right|=\left|H\right|N=H\cdot\#\left[G:H\right]\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חבורה, ו-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
קבוצה
\begin_inset Foot
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $26.11.2009$
\end_inset
, הושלם באמצעות יבגני גרישין ועמרי
\end_layout
\end_inset
.
אז
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
פועלת על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
היחס
\begin_inset Formula $x\sim_{G}x$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
\begin_inset Formula $O_{x}=O_{y}$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
יש
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
כך ש-
\begin_inset Formula $gx=y$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
יש
\begin_inset Formula $h\in G$
\end_inset
כך ש-
\begin_inset Formula $hy=x$
\end_inset
הוא יחס שקילות,
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
אינוורינטי.
\end_layout
\begin_layout Standard
כלומר,
\begin_inset Formula $x\sim_{G}y$
\end_inset
הוא יחס טרנזטיבי, סימטרי ורלפלקסיבי.
מרחב המנה,
\begin_inset Formula \[
\left\{ O_{x}|x\in X\right\} =\nicefrac{X}{G}=\nicefrac{X}{\tilde{G}}\]
\end_inset
ומרחב
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
מתפרק ליחוד זר של מסלולים, שהם קבוצות
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
אינוורינטיות מינמליות.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
דוגמאות
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $G=\mathbb{T}==\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}=r_{\theta}$
\end_inset
.
המסלולים של
\begin_inset Formula $\mathbb{T}$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
הם מעגלים, והמייצב של
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
תחת
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $\st\left(0\right)=\mathbb{T}$
\end_inset
.
אבל, אם
\begin_inset Formula $v\neq0$
\end_inset
, אז
\begin_inset Formula $\st\left(v\right)=\left\{ 1\right\} $
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{R}\cong\begin{pmatrix}e^{t} & 0\\
0 & e^{-t}\end{pmatrix}\leq SL_{2}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $D$
\end_inset
פועלת במישור.
נמצא מסלול של
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}1\\
1\end{pmatrix}$
\end_inset
לפי
\begin_inset Formula $D$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \[
D\begin{pmatrix}1\\
1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{t}\\
e^{-t}\end{pmatrix}\]
\end_inset
כלומר, המסלול
\begin_inset Formula \[
O_{D}\begin{pmatrix}1\\
1\end{pmatrix}=\set{\left(u,v\right)|uv=1}\]
\end_inset
כלומר, זו היפרבולוה.
אזי, מחלקות השקילות הם כל ההיפרבולות.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
על הצירים:
\begin_inset Formula \[
\begin{pmatrix}e^{t}\\
& e^{-t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\
0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{t}\\
0\end{pmatrix}\]
\end_inset
החלקים החיוביים והשליליים של הצירים אינוורינטיים תחת החבורה.
הצירים מתחלקים לחיובי ושלילי
\begin_inset Formula \[
O_{D}\begin{pmatrix}1\\
0\end{pmatrix}=\left\{ \left(x,y\right)|x>0,y=0\right\} \]
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Paragraph
לכל חבורה יש של שלוש פעולות מיידיות:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
הזזה שמאלית
\end_layout
\begin_layout Enumerate
הזזה ימנית
\end_layout
\begin_layout Enumerate
הצמדה
\end_layout
\begin_layout Paragraph
הזזה שמאלית
\end_layout
\begin_layout Standard
לכל
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
, נגדיר
\begin_inset Formula $\ell_{g}x=gx$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $g\mapsto\ell_{g}$
\end_inset
היא מונומורפיזם )כלומר, הגרעין שלה טריוויאלי( מ-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $S\left(G\right)$
\end_inset
)
\begin_inset Formula $S$
\end_inset
, החבורה הסימטרית על
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
( .
נסתכל על הרכבה:
\begin_inset Formula \[
\ell_{g}\circ\ell_{h}\left(x\right)=\ell_{g}\left(hx\right)=ghx=\ell_{gh}\left(x\right)\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Paragraph
הזזה ימנית
\end_layout
\begin_layout Standard
באותו אופן, ההעתקה
\begin_inset Formula $r_{g}:G\to G$
\end_inset
, פועלת כמו
\begin_inset Formula \[
r_{g}\left(x\right)=xg^{-1}\]
\end_inset
היא תמורה.
למעשה, לשום איבר פרט ל-
\begin_inset Formula $e$
\end_inset
, אין אף נקובת שבת, שהרי
\begin_inset Formula $\ell_{g}\left(x\right)=x$
\end_inset
, גורר
\begin_inset Formula $gx=x$
\end_inset
, ומחוק הצמצום, אם מתקיים
\begin_inset Formula \[
gx=x\implies g=e\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Paragraph
הצמדה
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $J_{g}\left(x\right)=gxg^{-1}$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $J_{g}^{-1}=J_{g^{-1}}$
\end_inset
,ו-
\begin_inset Formula $J_{gh}=J_{g}\circ J_{h}$
\end_inset
., כלומר,
\begin_inset Formula $J:G\to S\left(G\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Remarks
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
אם
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
אבלית, אז
\begin_inset Formula $J_{j}=id$
\end_inset
, לכל
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula \[
\ker J=\left\{ g\in G|gxg^{-1}x\iff gx=xg,\,\forall x\right\} =Z_{G}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
מתקיימים ש-
\begin_inset Formula \[
J_{g}\left(x_{1}x_{2}\right)=gx_{1}x_{2}g^{-1}=gx_{1}g^{-1}gx_{2}g^{-1}=J_{g}\left(x_{1}\right)J_{g}\left(x_{2}\right)\]
\end_inset
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
ולכן, כל
\begin_inset Formula $J_{g}$
\end_inset
הוא אוטומורפיזם של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
.
כלומר,
\begin_inset Formula \[
J:G\to{\rm Aut}\left(G\right)\subseteq S\left(G\right)\]
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
אם
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
אבלית, אז
\begin_inset Formula $r_{g}\left(x\right)=xg^{-1}=g^{-1}x=\ell_{g^{-1}}x$
\end_inset
אזי, נגדיר
\begin_inset Formula $r=\hat{\ell}$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $\hat{\ell_{g}\left(x\right)=g^{-1}x}$
\end_inset
.
אם
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
אינה אבלית, אז
\begin_inset Formula $r_{g}\neq\ell_{g}$
\end_inset
, בצורה מהותית.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
בדר"כ
\begin_inset Formula $r$
\end_inset
שונה מ-
\begin_inset Formula $\ell$
\end_inset
.
כלומר, אילו שתי תתי חבורות שונות של טרנספורמציות על
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, לפעמים קורה כי
\begin_inset Formula $r\left(G\right)\cap\ell\left(G\right)=\left\{ e\right\} $
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
לדוגמה
\series default
\begin_inset Formula $G=\mathbb{Z}_{6}$
\end_inset
, אז
\begin_inset Formula $\ell_{1}\left(x\right)=\left(x+1\right)\mod6$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Standard
בחבורה אבלית,
\begin_inset Formula $g\mapsto g^{-1}$
\end_inset
הוא אוטומורפיזם.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Definition
חבורה נקראת
\series bold
טרנזיטיבית
\series default
אם יש בה רק מסלול אחד.
\end_layout
\begin_layout Definition
באופן שקול,
\begin_inset Formula $O_{x}=X$
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Claim
נניח כי
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
פעולת ב-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset
, אזי קיימת העתקה חד-חד-ערכית ועל, בין המחלקות של המייצב של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\st_{G}\left(x\right)$
\end_inset
, לבין אברי המסלול
\begin_inset Formula $O_{x}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Proof
יהא
\begin_inset Formula $g\in\st_{G}\left(x\right)$
\end_inset
, ונעיין במשואה
\begin_inset Formula $gx=x$
\end_inset
.
ברור כי
\begin_inset Formula $ghx=x$
\end_inset
, ברור כי
\begin_inset Formula $ghx=x$
\end_inset
, לכל
\begin_inset Formula $h\in\st_{G}\left(x\right)$
\end_inset
.
כלומר, ניתן לרשון,
\begin_inset Formula $g\cdot\st_{G}\left(x\right)=x$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
ביתר כלליות, אם
\begin_inset Formula $gx=y$
\end_inset
, אזי עדין
\begin_inset Formula $g\cdot\st_{G}\left(x\right)=y$
\end_inset
, כלומר, המחלקה
\begin_inset Formula $g\st_{G}\left(x\right)'$
\end_inset
מורכבת מטרנספורמציות שלוקחותאת
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
אל
\begin_inset Formula $gx=g$
\end_inset
.
האם אלו כל הטרנספורמציות בעלות תכונה זו?
\end_layout
\begin_layout Proof
נניח כי
\begin_inset Formula $ux=vx=y$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $\st_{G}\left(X\right)\neq u^{-1}v$
\end_inset
.
כלומר, כל הטרנספורמציות
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
בעלות התכונה:
\begin_inset Formula $ux=gx=y$
\end_inset
, הן המחלקה של
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
, כלומר ב-
\begin_inset Formula $g\cdot\st_{G}\left(x\right)/to$
\end_inset
כן, ההעתקה
\begin_inset Formula $g\cdot\st_{G}\left(x\right)\to gx$
\end_inset
, היא מוגדרת היטב וברור שהיא על
\begin_inset Formula $O_{x}$
\end_inset
, הההעתקה הזו היא גם חד-חד-ערכית, כי אם
\begin_inset Formula $gx=wx$
\end_inset
, אז אם
\begin_inset Formula $g\st_{G}\left(x\right)=w\st_{G}\left(x\right)$
\end_inset
, שהרי
\begin_inset Formula $w^{-1}gx=x$
\end_inset
, ולכן
\begin_inset Formula $w^{-1}g\in\st_{G}\left(x\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Corollary
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
ניזכר כי הגודל של
\begin_inset Formula $\nicefrac{G}{H}$
\end_inset
מוגדר להיות האינדקס של
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, מספר מחלקות
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
.
אם כן, גודל המסלולל הוא אינדקס של המייצב.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
המסלול של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
תחת
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
סופי,
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
המייצב של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
מאינדק סופי
\end_layout
\begin_layout Enumerate
נניח כי
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
סופית, ו-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
סופית, אזי
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
מתפרק לאיחוד זר של מסלולים, ונניח כי
\begin_inset Formula $S\subset X$
\end_inset
היא קבוצה שמכילה נציג אחד בדיוק מכל מסלול,
\begin_inset Formula \[
\left|X\right|=\sum_{s\in S}\left|O_{s}\right|=\sum_{s\in S}\left[G:\st_{G}\left(s\right)\right]\]
\end_inset
שהרי,
\begin_inset Formula \[
\left[G:\st_{G}\left(s\right)\right]=\frac{\left|G\right|}{\left|\st_{G}\left(s\right)\right|}=O_{s}\]
\end_inset
במיוחד, אם ב-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
מסלול יחיד, אזי
\begin_inset Formula $\left|X\right|=\left[G:H\right]$
\end_inset
, יש מחלקה אחת אחת ובמיוחד, אז הגודל של
\begin_inset Formula $\left|X\right|$
\end_inset
מחלק את הגודל של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Remarks
נניח כי
\begin_inset Formula $gx=y$
\end_inset
היא באותו המסלול כמו
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
.
אזי, המייצב של
\begin_inset Formula $y$
\end_inset
היא תת חבורה צמודה למייצב של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
, וקיים:
\begin_inset Formula \[
\st_{G}\left(y\right)=g\st_{G}\left(x\right)g^{-1}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Proof
קודם כל, אם
\begin_inset Formula $h\in\st_{G}\left(x\right)$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula \[
ghg^{-1}y=ghx=gx=y\]
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula $ghg^{-1}\in\st_{G}\left(y\right)$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula \[
g\st_{G}\left(x\right)g^{-1}\subseteq\st_{G}\left(y\right)\]
\end_inset
ולהפיך, אם
\begin_inset Formula $uy=y$
\end_inset
, אז נסתכל על
\begin_inset Formula $g^{-1}ug$
\end_inset
, ונראה כי היא מייצבת את
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \[
g^{-1}ugx=g^{-1}ug=g^{-1}y=x\]
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula $w=g^{-1}ug\in\st_{G}\left(x\right)$
\end_inset
, ולכן
\begin_inset Formula \[
u=gwg^{-1}\in g\st_{G}\left(x\right)g^{-1}\]
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula \[
\st_{G}\left(y\right)\subseteq g\st_{G}\left(x\right)g^{-1}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
עקרונות ספירה לפעולות על קבוצות סופיות
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Paragraph
דוגמה
\end_layout
\begin_layout Standard
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
סופית ונעיין בפעולות ההצמדה של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
על
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
.
יהא
\begin_inset Formula $x\in G$
\end_inset
, ונסתכל מהוא המייצב של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
בפעולה זו:
\begin_inset Formula \[
\st_{G}\left(x\right)=\left\{ g\in G|J_{G}\left(x\right)=x\right\} =\left\{ g\in G|gxg^{-1}=x\right\} =\left\{ g\in G|gx=xg\right\} \]
\end_inset
החבורה
\begin_inset Formula $\left\{ g\in G|gx=gx\right\} $
\end_inset
נקראת
\series bold
המרכז
\series default
)בשווא, קמץ וצירה על מרכ( של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, ומסומנת גם
\begin_inset Formula $C_{G}\left(x\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
מהו המסלול של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
תחת פעולת ההצמדה? אוסף כל האיברים הצמודים ל-
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
\begin_inset Formula \[
O_{x}=\left\{ gxg^{-1}|g\in G\right\} =C\left(x\right)\]
\end_inset
היא מחלקת הצמידות של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
מספר צממודי
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
הוא האינדקס של המרכז של
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula \[
\nicefrac{G}{C_{G}\left(x\right)}\approx C\left(x\right),\,\,\left|C\left(x\right)\right|\cdot\left|C_{G}\left(x\right)\right|=\left|G\right|\]
\end_inset
\begin_inset Formula \[
gC_{g}\left(x\right)\mapsto gxg^{-1}J_{g}\left(x\right)\]
\end_inset
כמובן,
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
מתפצלת לאיחוד זר של מחלקות צמידות, ולכן אם
\begin_inset Formula $s_{1},\ldots,s_{r}$
\end_inset
הם נציגים של מחלקות הצמידות השונות, אז
\begin_inset Formula \[
\left|G\right|=\sum_{i=1}^{r}\left|O_{s_{i}}\right|=\sum_{i=1}^{r}\frac{\left|G\right|}{\left|C_{G}\left(s_{i}\right)\right|}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Corollary
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חבורה סופית
\begin_inset Foot
status open
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $3.12.2009$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
הפועלת על קבוצה סופית
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
.
לכל
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
, נסמן:
\begin_inset Formula $X^{g}=\left\{ x\in X|gx=x\right\} $
\end_inset
, קבוצת נקודות השבת של
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Theorem
סכום גודלי קבוצות נקודות השבת של כל אברי
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $r\left|G\right|=\sum_{g\in G}\left|X^{g}\right|$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $r$
\end_inset
הוא מספר מסלולי
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
נעיין במטריצה מגודל
\begin_inset Formula $\left|X\right|\times\left|G\right|$
\end_inset
שנתונה על ידי
\begin_inset Formula \[
a_{x,g}=\begin{cases}
1\, & ,gx=x\\
0 & ,\,\text{else}\end{cases}\]
\end_inset
קבוצת נקודות השבת של
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \[
\left|X^{g}\right|=\sum_{x\in X}a_{x,g}\]
\end_inset
אנחנו מעוניינים בביטוי
\begin_inset Formula \begin{align*}
\sum_{g\in G}\left|X^{g}\right| & =\sum_{g\in G}\sum_{x\in X}a_{x,g}=\sum_{x\in X}\sum_{g\in G}a_{x,g}\\
& =\sum_{x\in X}\left|\st_{G}\left(x\right)\right|=\sum_{x\in X}\frac{\left|G\right|}{\left|O\left(x\right)\right|}\end{align*}
\end_inset
)לפי המשוואה
\begin_inset Formula $\left|G\right|=\left|O\left(x\right)\right|\cdot\left|\st_{G}\left(x\right)\right|=\left|\nicefrac{G}{H}\right|\cdot\left|H\right|$
\end_inset
(
\begin_inset Formula \[
=\left|G\right|\sum_{x\in X}\frac{1}{\left|O\left(x\right)\right|}=r\left|G\right|\]
\end_inset
בשוויון האחרון, עוברים על כל אברי החבורה, ולכל אבר משייכים את הגו, דל של
אחד חלקי המסלול שלו.
אם נקבע מסלול מסויים, כל מסלול יתן תרומה של
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\numeric off
, ולכן הסכום כולו הוא מספר המסלולים
\end_layout
\begin_layout Theorem
נסכום על נקודות השבת לא כולל נקודות השבת של הזהות.
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חבורה סופית הפועלת בקבוצה סופי
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
, ותהא
\begin_inset Formula $S$
\end_inset
חתך של אוסף המסלולים, כלומר,
\begin_inset Formula $S$
\end_inset
נחתכת באיבר יחיד עם כל מסלול, אזי
\begin_inset Formula \[
\sum_{s\in S}\left|O\left(s\right)\right|\left(\left|\st_{G}\left(s\right)-1\right|\right)=\sum_{g\neq e}\left|X^{g}\right|=\sum_{s\in S}\frac{\left|G\right|}{\left|\st_{G}\left(s\right)\right|}\left|\st_{G}\left(s\right)-1\right|\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Proof
נחזור על ההוכחה הקודמת, בהשמטת האיבר
\begin_inset Formula $e$
\end_inset
, כלומר, נגדיר את
\begin_inset Formula $Y=\left\{ \left(x,g\right)|gx=x,g\neq e\right\} $
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
הביטוי שאנו מעוניינים בו הוא
\begin_inset Formula \begin{align*}
\left|Y\right| & =\sum_{g\neq e}\left|X^{g}\right|=\sum_{g\neq e}\sum_{x\in X}a_{x,g}\\
& =\sum_{x\in X}\sum_{g\neq e}a_{x,g}=\sum_{x\in X}\sum_{\substack{gx=x\\
g\neq e}
}1=\sum_{x\in X}\left|\st_{G}\left(x\right)\right|-1\end{align*}
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $a_{x,g}$
\end_inset
היא אותה המטריצה שהוגדרה בהוכחה הקודמת.
עתה, נחזור על סוף ההוכחה הקודמת.
עבור מסלול נתון,
\begin_inset Formula $\left|\st_{G}\left(x\right)\right|$
\end_inset
הוא קבוע, מאחר ולאברים באותו המסלול, המייצבים צמודים זה לזה.
לכן,
\begin_inset Formula \begin{align*}
& =\sum_{s\in S}\left|O\left(s\right)\right|\left(\left|\st_{G}\left(s\right)\right|-1\right)\\
& =\sum_{s\in S}\frac{\left|G\right|}{\left|\st_{G}\left(s\right)\right|}\left(\left|\st_{G}\left(s\right)\right|-1\right)\end{align*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
תתי חבורות סופיות של
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
השגנו מיון מלא של תתי החבורות הסופיות של
\begin_inset Formula $\opr$
\end_inset
.
נשאל את עצמנו מהם תתי החבורו תהסופיות של החבורה האורתוגונלית התלת מימדית.
\end_layout
\begin_layout Itemize
המקרה הקודם: ברגע שנבחר ציר, הוא מגדיר את החבורה האורתוגונלית הדו-מימדית
הפועלת במישור הניצב לציר הזה.
\end_layout
\begin_layout Itemize
סימטריות של גופים משוכללים בתלת מימדף הטטרהדרון, הקוביה, אוקטהדרון, דודקהדרון
ואיקוסהדרון.
כבר ליוונים היה ידוע שאין יותר גופים משוכללים בשלושה מימדים.
כשאנחנו לוקחים גוף סימטריהו מסתכלים על אוסף כל הפעולות שמייצבות אותו, נקבל
חבורה.
לכן, לכאורה, יש לנו חמש חבורות -- חבורה לכל גוף.
\end_layout
\begin_layout Standard
בגופים המשוכללים, ניתן לבצע כל מני פעולות שישנו את הגופים, והם כבר לא יהיו
משוכללים, אבל ישמור את חבורת הסימטריה.
למשל ניסור קצוות הטטראדר, ישמור על חבורת הסימטריות שלו.
\end_layout
\begin_layout Theorem
כל תת-חבורה סופית של
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
היא אחת מהנ"ל:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $C_{k}$
\end_inset
, החבורה הציקלית של סביבו בזווית רציונלית,
\begin_inset Formula $2\pi/k$
\end_inset
סביב ישר.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $D_{k}$
\end_inset
, החבורה דיהדרית של פוליגון מסדר
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
במישור מסויים.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
-- חבורת הסימטריות של טטרהדרון, מסדר
\begin_inset Formula $12$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
-- חבורת הסימטריות של האוקטהדרון, מסדר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
24
\numeric off
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $Ic$
\end_inset
-- חבורת הסימטריות של האיקוסהדרון, מסדר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
60
\numeric off
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Remarks
ב-
\begin_inset Formula $O_{3}$
\end_inset
, אנחנו לא מצפים לשינוי דרמטי, אבל לכל חבורה ב-
\begin_inset Formula $O_{3}$
\end_inset
, יש תת חבורה מאינדקס
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ב-
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
אבל מיון מלא של כל תת החבורות ב-
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
הוא מורכב יותר.
\end_layout
\begin_layout Standard
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
תת-חבורה סופית של
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
אזי, לכל
\begin_inset Formula $g\neq e$
\end_inset
יש ציר סיבוב, ולכן
\series bold
בדיוק
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
נקודות שבת על הספרה.
\end_layout
\begin_layout Standard
תהא
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
קבוצת נקודות השבת על הספרה, של איברים שונים מ-
\begin_inset Formula $e$
\end_inset
.
אז
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
קבוצה סופית.
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
היא קבוצה
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטית, כלומר, אם
\begin_inset Formula $v\in P$
\end_inset
, אזי גם
\begin_inset Formula $gv\in P$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם
\begin_inset Formula $v\in P$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $hv=v$
\end_inset
, לאיזשהו
\begin_inset Formula $h\neq e$
\end_inset
.
ברור שגם
\begin_inset Formula $gv$
\end_inset
הוא נקודת שבת של
\begin_inset Formula $ghg^{-1}$
\end_inset
, שערי
\begin_inset Formula $ghg^{-1}gv=ghv=gv$
\end_inset
.
לכן,
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
היא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטית ואנו מעוניינים בפעולת
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
הקבוצה הסופית
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
.
הקבוצה
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
מקיימת את הזהות שהוכחנו,
\begin_inset Formula \[
\sum_{g\neq e}\left|P^{g}\right|=\sum_{s\in S}\left|O\left(s\right)\right|\left(\left|\st_{G}\left(s\right)\right|-1\right)\]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $S$
\end_inset
קבוצת החתך של מסלולי
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
.
כמובן,
\begin_inset Formula $\left|P^{g}\right|=2$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula \[
2\left(\left|G\right|-1\right)=\sum_{s\in S}\frac{\left|G\right|}{\left|\st_{G}\left(s\right)\right|}\left(\left|\st_{G}\left(s\right)\right|-1\right)\]
\end_inset
ואם נרשום כי
\begin_inset Formula $s=\left\{ s_{1},\ldots,s_{r}\right\} $
\end_inset
, כלומר, יש
\begin_inset Formula $r$
\end_inset
מסלולים, והמייצב של
\begin_inset Formula $s_{i}$
\end_inset
הוא בגודל
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $\left|G\right|=n$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \begin{align*}
2\left(n-1\right) & =\sum_{i=1}^{r}\frac{n}{n_{i}}\left(n_{i}-1\right)\\
2-\frac{2}{n} & =\sum_{i=1}^{r}\left(1-\frac{1}{n_{i}}\right)\\
& =r-\sum_{i=1}^{r}\frac{1}{n_{i}}\end{align*}
\end_inset
קיבלנו את המשוואה,
\begin_inset Formula \[
\boxed{2-\frac{2}{n}=r-\sum_{i=1}^{r}\frac{1}{n_{i}}}\tag{\star}\]
\end_inset
ננתח את המשוואה
\begin_inset Formula $\left(\star\right)$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Paragraph
צעד ראשון
\end_layout
\begin_layout Standard
על פי ההגדרה,
\begin_inset Formula $2\leq n_{i}$
\end_inset
)כי
\begin_inset Formula $\left\{ e\right\} \neq\st_{G}\left(s_{i}\right)$
\end_inset
( ולכן,
\begin_inset Formula \[
2>2-\frac{2}{n}=r-\sum_{i=1}^{r}\frac{1}{n_{i}}\geq r-\frac{r}{2}\]
\end_inset
נסיק כי
\begin_inset Formula $r<4$
\end_inset
, כלומר, יש לכל היותר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
מסלולים!
\end_layout
\begin_layout Paragraph
צעד שני
\end_layout
\begin_layout Enumerate
נניח שיש מסלול יחיד,
\begin_inset Formula $r=1$
\end_inset
.
נחזור ל-
\begin_inset Formula $\left(\star\right)$
\end_inset
, ונקבל כי
\begin_inset Formula \[
2-\frac{2}{n}=1-\frac{1}{n_{1}}\]
\end_inset
צד ימין הוא קטן מ-
\numeric on
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
, וצד שמאל, הוא
\begin_inset Formula $1\leq$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
נניח ויש שני מסלולים,
\begin_inset Formula $r=2$
\end_inset
, ומ-
\begin_inset Formula $\left(\star\right)$
\end_inset
, נקבל ש-
\begin_inset Formula \[
2-\frac{2}{n}=2-\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\right)\]
\end_inset
או,
\begin_inset Formula \[
\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{2}{n}=\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\]
\end_inset
כמובן,
\begin_inset Formula $n\geq n_{1},n_{2}$
\end_inset
, שהרי
\begin_inset Formula $n_{1}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $n_{2}$
\end_inset
סדרי תתי-חבורות, ולכן מחלקים של
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
.
לכן,
\begin_inset Formula $n=n_{1}=n_{2}$
\end_inset
, כלומר, יש שני מסלולים בקבוצת נקודות השבת, ולכל אחד מהם יש מייצב מלא, כלומר
-- כל החבורה.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
תהא
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
נקודת שבת, נניח, בלי הגבלת הכלליות, נניח כי
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
היא הקוטב הצפוני )אחרת, ניתן להצמיד את החבורה כך ש-
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
תהיה נקודה זו(.
גם הקוטב הדרומי הוא נקודת שבת, משום שזהו הנקודה השניה על ציר הסיבוב.
במצבנו הנוכחי, לכל
\begin_inset Formula $s\in P$
\end_inset
מתקיים,
\begin_inset Formula $\st_{G}\left(s\right)=G$
\end_inset
, ולכן, המסלול של
\begin_inset Formula $s$
\end_inset
הוא נקודה יחידה, ולכן,
\begin_inset Formula $s$
\end_inset
נקודת שבת של
\series bold
כל
\series default
החבורה
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן,
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
שומרת על הקוטב הצפוני, ולכן על הקוטב הדרומי, ולכן,
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
שומרת על מישור המשווה, הוא המישור הניצב לציר הסיבוב שלה, ולכן --
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
פועלת כחבורה אורתוגונלית על המישור הזה, ולמעשה, כחבורת סיבובים מסדר
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
.
שהרי,
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חלקית ל-
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, ושומרת וקטור במקומו
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
נוכל להניח
\begin_inset Formula $r=3$
\end_inset
, ולסמן
\begin_inset Formula $n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
אם
\begin_inset Formula $n_{1}\geq3$
\end_inset
, אזי, על פי
\begin_inset Formula $\left(\star\right)$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \[
2-\frac{2}{n}=3-\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}+\frac{1}{n_{3}}\right)\]
\end_inset
ונקבל סתירה, כי צד ימין הוא גדול או שווה מ-
\numeric on
2
\numeric off
, וצד שמאל הוא קטן מ-
\numeric on
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
, ולכן,
\begin_inset Formula $n_{1}=2$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
לכן,
\begin_inset Formula $n_{1}=2$
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
נעיין ב-
\begin_inset Formula $n_{2}$
\end_inset
.
אם
\begin_inset Formula $4\leq n_{2}$
\end_inset
, כלומר, גם
\begin_inset Formula $n_{3}\geq4$
\end_inset
, נקבל מ-
\begin_inset Formula $\left(\star\right)$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \[
2-\frac{2}{n}=3-\frac{1}{2}-\frac{1}{n_{2}}-\frac{1}{n_{3}}\]
\end_inset
ושוב נקבל את אותה הסתירה, צד ימין
\begin_inset Formula $2\leq$
\end_inset
, וצד שמאל
\begin_inset Formula $2\geq$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
לכן,
\begin_inset Formula $n_{2}=2,3$
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
קיבלנו
\begin_inset Formula $n_{1}=2$
\end_inset
, ונניח עתה כי
\begin_inset Formula $n_{2}=2$
\end_inset
.
לפי
\begin_inset Formula $\left(\star\right)$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \[
2-\frac{2}{n}=3-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{n_{3}}\]
\end_inset
כלומר,
\begin_inset Formula \[
\frac{2}{n}=\frac{1}{n_{3}}\implies n=2n_{3}\]
\end_inset
זאת אומרת, בפעולת
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
על
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
, יש שלושה מסלולים: מסלול אחד, המייצב שלו מסדר
\begin_inset Formula $n_{3}$
\end_inset
, הוא מסדר
\begin_inset Formula $\frac{\left|G\right|}{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
קיבלנו כי סדרי המייצבים כאן הם
\begin_inset Formula $\left(2,2,k\right)$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
שרירותי.
בהמשך, נראה שזוהי ריאליזציה של החבורה הדיהדריות,
\begin_inset Formula $D_{k}$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
קיבלנו כי
\begin_inset Formula $n_{1}=2$
\end_inset
ונניח כי
\begin_inset Formula $n_{2}=3$
\end_inset
, אזי,
\begin_inset Formula \[
2-\frac{2}{n}=3-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{n_{3}}\]
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula $\frac{2}{n}=\frac{1}{n_{3}}-\frac{1}{6}$
\end_inset
, או,
\begin_inset Formula \[
\frac{1}{n_{3}}=\frac{1}{6}+\frac{2}{n}=\frac{1+\frac{12}{n}}{6}\]
\end_inset
אם כן,
\begin_inset Formula $\frac{1}{n_{3}}>\frac{1}{6}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $n_{3}=3,4,5$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
נותרנו אם האפשרויות הבאות:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
סדרי המייצבים הם
\begin_inset Formula $\left(2,3,3\right)$
\end_inset
, וסדר החבורה הוא
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
12
\numeric off
.
)
\begin_inset Formula $\frac{1}{3}=\frac{1+\frac{12}{n}}{6}\implies n=12$
\end_inset
(
\end_layout
\begin_layout Enumerate
סדרי המייצבים הם
\begin_inset Formula $\left(2,3,4\right)$
\end_inset
, וסדר החבורה הוא
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
24
\numeric off
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
סדרי המייצבים הם
\begin_inset Formula $\left(2,3,5\right)$
\end_inset
, וסדר החברורה הוא
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
60
\numeric off
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Standard
נתאים את החבורות הנ"ל לגופים המשוכללים:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
-- תת החבורה עם מייצבים מסדרים
\begin_inset Formula $\left(2,3,3\right)$
\end_inset
היא חבורת הסימטריות של הטטרהדרון.
ניתן להעביר אנך לכל אחת מהפאות דרך הקודקוד הנגדי, ולסובב
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
פעמים סביב כל אנך כזה, וקיבלנו
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
12
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
אברים.
כלומר, חבורת הסימטריות של הטטרהדרון היא
\emph on
מימוש
\emph default
של חבורת הסימטריה הזו, ונותר להוכיח שזהו המימוש היחידי.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
-- תת החבורה עם מייצבים מסדרים
\begin_inset Formula $\left(2,3,4\right)$
\end_inset
, היא חבורת הסימטריות של האוקטהדרון והקוביה.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $Ic$
\end_inset
-- תת החבורה עם מייצבים מסדר
\begin_inset Formula $\left(2,3,5\right)$
\end_inset
, היא חבורת הסימטריות של הדודקהדרון והאיקוסהדרון.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
איזומורפיזם של החבורות האפלטוניות
\end_layout
\begin_layout Standard
הן החבורות השומרות את הגופים האפלטוניים:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\left|T\right| & =12\\
\left|C\right| & =24\\
\left|Ic\right| & =60\end{align*}
\end_inset
אנחנו רוצים לתאר איזומורפיזמים בינהם לחבורות שאנחנו מכירים.
זה גם קשור לדיון שלנו בפעולות של חבורות:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
חבורת האיזומטריות של הטטראדר,
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
, פועלת כחבורת תמורות על קודקודי הטטראדר, ולכן יש הומומורפיזם
\begin_inset Formula $\varphi:T\to\Sym\left(V_{T}\right)$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $V_{T}$
\end_inset
קודקודי הטטראדר.
לכן,
\begin_inset Formula \[
\varphi:T\to S_{4}\]
\end_inset
קודם כל,
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
חד-חד-ערכית, קי ברור של-
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
אין גרעין )כלומר, אלמנט שפועל טריוויאלים על הטטראדר: מייצב את כל ארבעת
הקודוקודים, והיחיד שעושה את זה הוא היחידה( , וכמובן,
\begin_inset Formula $\im\varphi=A_{4}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
פועלת על הקוביה.
היות ו-
\begin_inset Formula $\left|C\right|=24=\left|S_{4}\right|$
\end_inset
, נחפש קבוצה בת ארבע איברים שהיא פעולת עליו.
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
פועלת על הקוביה, ופועלת על
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
8
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
הקודקודים,
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
6
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
הפאות וארבעת האלכסונים.
אם כן יש הומומרפיזם
\begin_inset Formula $\varphi:C\to\left\{ \text{diagonals}\right\} $
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula $\varphi:C\to S_{4}$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $\ker\varphi=e$
\end_inset
, ולכן, זהו איזומורפיזם.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
הצגה נוספת: נשים את המרכז של הקוביה ב-
\numeric on
0
\numeric off
, ואז הקוביה ניתנת על ידי
\begin_inset Formula $\left(\pm1,\pm1,\pm1\right)$
\end_inset
, שמונת הקודקודים.
ברור שחבורת התמורות המסומנות, היא חבורה של טרנספורמציות אורתוגונליות ששומרות
על קבוצת שמונה הקודקודים, ולכן על הקוביה.
)תמורות מסומנות היא חבורת תמורות המיוצגת כמטריצה, שמלבד חילוף מיקום של
אברים, יכולה גם להחליף את הסימן שלהם(.
חבורת התמורות המסומנות על שלושה עצמים, גודלה הוא
\begin_inset Formula $48=2^{3}\cdot3!$
\end_inset
.
אם כן,
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
היא
\begin_inset Formula $\ker\det$
\end_inset
, כלומר, חבורת התמורות המסומנות עם דטרמיננטה
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $Ic$
\end_inset
פועלת על האיקוסהדרון, ו-
\begin_inset Formula $\left|C\right|=60=\left|A_{5}\right|$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $Ic\cong A_{5}$
\end_inset
, ופועלת בתמורות על חמש קוביות שניתן לסרטט בדודקהדרון.
\end_layout
\begin_layout Subsection
סדרים של איברים בחבורות קריסטלוגרפיות
\end_layout
\begin_layout Paragraph
תזכורת
\end_layout
\begin_layout Standard
אם
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
ריצוף של
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
, תהא
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
החבורה הקריסטלוגרפית שלו, כלומר -- חבורת התנועות הצפידות של
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
, ששומרות על הריצוף במקומו.
כלומר, שהריצוף אינוורינטי תחת הפעלתן.
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
היא תת-חבורה דיסקרטית של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{3}\right)$
\end_inset
, ולכן, ל-
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
יש תת-חבורת הזזות,
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V$
\end_inset
, וחבורה נקודתית,
\begin_inset Formula $\nicefrac{\Gamma}{\Gamma\cap V}$
\end_inset
.
נניח כי
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V$
\end_inset
סריג של
\begin_inset Formula $\RR^{3}=V$
\end_inset
, ותהא
\begin_inset Formula $G=\nicefrac{\Gamma}{\Gamma\cap V}$
\end_inset
, החבורה הנקודתית.
\end_layout
\begin_layout Standard
האיזומטריות של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{3}\right)==\left\{ \varphi_{A,a}|A\in O_{3},\, a\in V\right\} $
\end_inset
ויש אפימורפיזם
\begin_inset Formula $\tau:\Iso\RR^{3}\to O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Claim
החבורה
\begin_inset Formula $G\subseteq O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, כשנראה אותה כתת-חבורה של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{3}\right)$
\end_inset
, משאירה את הסריג
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V$
\end_inset
אינוורינטי.
\end_layout
\begin_layout Proof
אם
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
, אז יש איזומטריה
\begin_inset Formula $\varphi_{g,a}\in\Gamma$
\end_inset
, שהרי
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
הוא בדיוק כל המקורות של
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
תחת ההומומורפיזם
\begin_inset Formula $\tau$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
מאחר שהחבורה
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V$
\end_inset
נורמלית ב-
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset
, אז לכל
\begin_inset Formula $\varphi_{e,v}\in\Gamma\cap V$
\end_inset
, נקבל ש-
\begin_inset Formula \[
\varphi_{g,a}\varphi_{e,v}\varphi_{g,a}^{-1}\in\Gamma\cap V\]
\end_inset
אבל לפי לוח-הכפל ב-
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{3}\right)$
\end_inset
, מתקיים:
\begin_inset Formula \[
\varphi_{g,a}\varphi_{e,v}\varphi_{g,a}^{-1}=\varphi_{e,gv}\]
\end_inset
אם כן, החבורה הנקודתית
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
שומרת על הסריג אינוורינטי.
הסריג
\begin_inset Formula $\Gamma\cap V$
\end_inset
הוא )איזומורפי( לחבורה
\begin_inset Formula \[
\left\{ mv_{1}+nv_{2}+kv_{3}|m,n,k\in\mathbb{Z}\right\} \]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $v_{1},v_{2},v_{3}$
\end_inset
בלתי תלויים לינארית.
\begin_inset Formula \[
g:L\to L\]
\end_inset
פועלת כאוטומורפיזם של הסריג.
שהרי
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $g^{-1}$
\end_inset
שומרות על הסריג במקומו.
\end_layout
\begin_layout Proof
נייצג את
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
כמטריצה בבבסיס
\begin_inset Formula $v_{1},v_{2},v_{3}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \[
g=\left(a_{ij}\right)\]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $a_{i,j}\in\mathbb{Z}$
\end_inset
.
כלומר,
\begin_inset Formula \[
gv_{1}=a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}+a_{13}v_{3}\in L\]
\end_inset
מאחר ו-
\begin_inset Formula $a_{ij}\in\mathbb{Z}$
\end_inset
שלמים.
אם כן,
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
טרנספורמציה אורתוגונלית של
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
, והיא בעלת מטריצה עם מקדמים שלמים, בבסיס
\begin_inset Formula $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} $
\end_inset
.
נסיק שתי מסקנות:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\trace g\in\mathbb{Z}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
נניח עכשיו כי
\begin_inset Formula $\det g=1$
\end_inset
, ולכן, לפי משפט אויילר,
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
היא סבוב סביב ציר, ולכן,
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
צמודה ל-
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\\
& & 1\end{pmatrix}$
\end_inset
, ולכן
\begin_inset Formula $\trace g=2\cos\theta+1$
\end_inset
, ומכאן נובע ש-
\begin_inset Formula $2\cos\theta$
\end_inset
הוא שלם!
\end_layout
\begin_layout Standard
מהמסקנות הללו,
\begin_inset Formula $2\cos\theta\in\left\{ -2,-1,0,1,2\right\} $
\end_inset
.
אם כך,
\begin_inset Formula $\cos\theta\in\left\{ -1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1\right\} $
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula \[
\theta\in\left\{ 0,\pm\pi,\pm\frac{\pi}{3},\pm\frac{\pi}{2},\pm\frac{2\pi}{3}\right\} \]
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
לכן, לא ניתן לסובב ב-
\begin_inset Formula $72^{\circ}$
\end_inset
.
כלומר, החבורה של האיקוסהדרון אינה נכללת בחבורות הסימטריה של הסריג.
\end_layout
\begin_layout Corollary
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
הסדרים של סיבובים בחבורה הנקודתית של חבורה קריסטלוגרפית, הם
\begin_inset Formula $\left\{ 1,2,4,3,6\right\} $
\end_inset
בלבד.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
מתוך המיון של חבורות סופיות של
\begin_inset Formula $SO_{3}$
\end_inset
, תנאי )
\numeric on
1
\numeric off
( משאיר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
11
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
חבורות.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
ניתוח מלא של כל החבורות שפעולות על סריג, הוא אפשרי, ונותן בסך הכל
\begin_inset Formula $230$
\end_inset
ריצופים על המרחב.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
ב-)
\numeric on
3
\numeric off
(, הרשימה כוללת את כל האפשרויות עבור תתי חבורות דיסקרטיות של
\begin_inset Formula $\Iso\left(\RR^{3}\right)$
\end_inset
, )והסריגים האינוורינטים המתאימים(.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
ב-
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
יש
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
32
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
תתי חבורות בסך הכל, והן פועלות כסימטריות על סריגים מתאימים.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
קוואזי-גבישים
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Corollary
בניסוי פיזור משריג שנעשה ב-
\numeric on
1984
\numeric off
, בין השאר בפקולטה להנדסת חומרים בטכניון, נתגלו גבישים עם סימטריה מסדר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
10
\numeric off
, סימטריה שאינה אפשרית לפי החוקים המתמטיים, עבור שריג מחזורי.
זהו שריג ללא סימטריה להזזה במרחב כלל.
שריג כזה מכונה קוואזי-גביש.
קיימת תורה מתמטית המתארת גבישים כאלו, שהיתה קיימת עוד קודם.
דוגמא יפה לריצוף לא-מחזורי של המישור הוא ריצוף של פנרוז, המורכב משני אריכים
בלבד, וממלא את המישור בצורה לא-מחזורית.
דוגמא לריצוף כזה ניתן לראות, בין השאר, באולם הכניסה של הפקולטה לפיזיקה,
בטכניון.
\end_layout
\begin_layout Subsection
נוסחאת אוילר
\begin_inset Foot
status open
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $24.12.2009$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
אמפיריקה
\end_layout
\begin_layout Standard
עבור הגופים האפלטונים:
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
קודקודים )
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
(
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
צלעות )
\begin_inset Formula $E$
\end_inset
(
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
פאות )
\begin_inset Formula $F$
\end_inset
(
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
צורת פאות
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
4
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
6
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
4
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
טטראדר
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
8
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
12
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
6
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
קוביה
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
6
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
12
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
8
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
אוקטהדרון
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
20
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
30
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
12
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
מחומשות
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
דוקהדרון
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
12
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
30
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\numeric on
20
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
משולשות
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
איקוסהדרון
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
אז בכל הגופים, מתקיים,
\begin_inset Formula \begin{equation}
\boxed{V-E+F=2}\label{eq:euler-aplaton}\end{equation}
\end_inset
זה יכול להראות כמקריות, אך הנוסחא הזו יציבה למדי.
אנחנו יכולים לבצע הרבה מאוד פעולות על הפאונים, ולקבל כי הנוסחא נשמרת.
\end_layout
\begin_layout Standard
למשל, נקח את הקוביה וננסר אחת מפינותיה.
נקבל פאה אחת נוספת, ביטלנו קודקוד אחד, אבל הוספנו שלושה קודקודים חדשים,
ושלוש צלעות חדשות, והנוסחא נשמרת.
עבור כל פעולת ניסור שכזו )או רצף של פעולות כאלו(, עבור כל אחד מהגופים,
הנוסחא עדין תתקיים.
הנוסחא )
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:euler-aplaton"
\end_inset
( מכונה "
\series bold
נוסחאת אוילר
\series default
".
אוילר הבין שהנוסחא הזו היא נוסחא כללית לגמרי: הנוסחא הזו נכונה
\emph on
לכל פאון קמור
\emph default
.
נוסחאת אוילר היא הדוגמה הראשונה למה שמכונה היום "ואריאנט טופולוגי".
\end_layout
\begin_layout Standard
נרצה להוכיח את נוסחאת אוילר, באמצעות דיון בגיאומטריה ספרית.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
מרחב שפת-כדור
\end_layout
\begin_layout Standard
נדון בגיאומטריה על שפת כדור.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם יש לנו נקודה
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
ונקודה
\begin_inset Formula $w$
\end_inset
על הספירה.
אם
\begin_inset Formula $v\neq w$
\end_inset
על הספירה, אזי הם פורשים מישור )דרך מרכז הספרה(.
חיתוך המישור הספירה הוא מעגל שנקרא
\emph on
מעגל גדול
\emph default
,
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $w$
\end_inset
על המעגל, והמרחק
\begin_inset Formula $\d$
\end_inset
בינהם יוגדר כאורך הקשת הקצרה בינהן.
הגדרה זו אכן נותנת מרחק, כלומר, מטריקה, כלומר, מתקיים אי-שוויון המשולש:
\begin_inset Formula \[
\d\left(v,u\right)\leq\d\left(v,w\right)+\d\left(w,u\right)\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
filename geosym/sphere.svg
scale 30
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
שתי נקודות על שפת כדור
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\end_inset
בנוסף, קשת המעגל הגדול בין
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $w$
\end_inset
, היא קו-ישר בגיאומטריה זו.
קו ישר פירושו "גיאודז" כלומר, עקומה גזירה שהאורך שלה הוא המינימום האפשרי
מבין כל העקומות על הפסירה שמחברות בין
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $w$
\end_inset
.
על הספרה, קיים גיאודז יחיד בין כל שתי נקודות, לא אנטיפודיות.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
זוויות
\end_layout
\begin_layout Standard
נניח שני גיאודזים,
\begin_inset Formula $I$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
.
כדי להגדיר א תהזווית בינהן, נעיין במשיר ח-
\begin_inset Formula $I$
\end_inset
בנקודה
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
ובמשיק ל-
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
בנקודה
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
.
ו שני משיקים אלו יוצרים מישור, המישור המשיק לספירה בנקודה
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
.
נגדיר
\begin_inset Formula $\angle_{p}\left(I,J\right)$
\end_inset
את הזווית בין
\begin_inset Formula $I$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
בנקודה
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
, כזוית בין הוקטורים המשיקים במישור המשיק.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
filename geosym/sphere_with_angle.svg
scale 30
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
שני קטעים על המעגל
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
משולש הוא
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
נקודות שמחוברות על ידי קטעים גאודזיים.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
דוגמה -- דיגון
\end_layout
\begin_layout Standard
על הספירה יש מצולע עם שתי צלעות.
הדיגון נקבע )עד כדי טרנספורמציה אורתוגונלית( על ידי הזווית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
בין צלעותיו.
ניתן להגדיר שטח על הספירה.
שטח הדיגון נקבע על ידי הזויית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
: עבור
\begin_inset Formula $\theta=\pi$
\end_inset
, שטח הדיגון הוא
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset
שטח הספירה,
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
.
אם
\begin_inset Formula $\theta=\frac{\pi}{2}$
\end_inset
, שטן הדיגון הוא
\begin_inset Formula $\frac{1}{4}$
\end_inset
משטח
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
.
אם
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
היא ספירת היחידה, אזי יש לה שטח
\begin_inset Formula $4\pi$
\end_inset
, ולכן שטח הדיגון
\begin_inset Formula $D_{\theta}$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $2\theta$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
placement h
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
filename geosym/Digons_example.svg
scale 30
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
דיגון: מצולע בין שתי צלעות שמוגדר על ידי הזווית
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
בינהן.
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Theorem
יהא
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
משולש )גיאודזי( על הספירה.
יהיו
\begin_inset Formula $\alpha,\beta,\gamma$
\end_inset
, הזוויות שלו.
אזי שטח המשולש
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula \[
\alpha+\beta+\gamma-\pi\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Proof
נקח את המשולש
\begin_inset Formula $ABC$
\end_inset
, ונסתכל על המעגלים הגדולים עליהם מונחים צלעתיו.
מכל אחד מהקודקודים, נבנה דיגון שקודקודו האחד הוא קודקוד המשולש, וצלעותיו
הן המשך צלעות המשולש, והוא זר למשולש.
\end_layout
\begin_layout Proof
שלוש הדיגונים הללו נחתכים במשולש
\begin_inset Formula $T'$
\end_inset
, שהוא המשולש האנטיפודי ל-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
.
נחשב א תסכום השטחים של שלוש הדיגונים הללו, בתוספת שלושת הדיגונים בקודקודים
\begin_inset Formula $A,B,C$
\end_inset
עם זוויות ראש
\begin_inset Formula $\alpha,\beta,\gamma$
\end_inset
, שמכילים את
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula \begin{align*}
4\pi & =\text{Sphere area}=\text{Sum of area of 6 digons}-4\left|T\right|=4\left(\alpha+\beta+\gamma\right)-4\left|T\right|\end{align*}
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula \[
\left|T\right|=\alpha+\beta+\gamma-\pi\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
הוכחה של נוסחאת אוילר
\end_layout
\begin_layout Proof
)נוסחאת אוילר(
\end_layout
\begin_layout Proof
יהא
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
פיאון קמור, ונקח נקודה
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
בפנים שלו.
נניח בלי הגבלת הכלליות שהפיאון נמצא ממש בפנים של כדור היחידה.
נשרטט ספירת יחידה ש-
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
מרכזה, ונבצה הטלה רדיאלית מ-
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
.
ומכאן, נובע כי לכל צלע בפיאון
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
, עברה לקטע גיאודזי על הספירה.
\end_layout
\begin_layout Proof
נקבל כך חלוקה של הספרה על ידי קטעים גיאודזיים.
נוכל להניח, בלי הגבלת הכלליות, כי כל פאה של הפיאון היא משולש.
ואכן, אם לא, נוכל לחלק כל פאה של
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
מראש למשולשים, וזה לא ישנה את נוסחאת אוילר ) הוספת קו מוסיפה הן פאה והן
צלע, ולא משנה את מספר הקודקודים, ולכן הפרמטרים בנוסחאת אוילר נשמרים(.
כלומר, קיבלנו חלוקה של הספרה למשולשים גיאודזים.
\end_layout
\begin_layout Proof
אנו נשתמש בנוסחאת השטח, ובנוסף, בעובדה הבאה: אם נסמן
\begin_inset Formula $e=\left|E\right|$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $f=\left|F\right|$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $v=\left|V\right|$
\end_inset
)מספרי הצלעות, הפאות והקודקודים בהתאמה(, מאחר ש
\series bold
כל
\series default
פאה היא משולש, מספר כל הצלעות שמופיעות במעבר על כל הפאות, הוא
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\begin_inset Formula $3f$
\end_inset
.
ומספר זה הוא
\begin_inset Formula $2e$
\end_inset
, כי כל צלע שמופיעה, מופיעה בדיוק בשני משולשים.
אם כן,
\begin_inset Formula $3f=2e$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
נחשב את השטחים: שטח הספרה כולו,
\begin_inset Formula \[
4\pi=\sum_{T\in\Delta}\left|T\right|\]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $\left|T\right|$
\end_inset
הוא השטח של
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $\Delta$
\end_inset
היא קבוצת הפאות, כלומר, קבוצת המשולשים.
\begin_inset Formula \begin{align*}
& =\sum_{T\in\Delta}\left(\left(\alpha_{T}+\beta_{T}+\gamma_{T}\right)-\pi\right)\\
& =\sum_{T\in\Delta}\left(\alpha_{T}+\beta_{T}+\gamma_{T}\right)-f\cdot\pi\end{align*}
\end_inset
הסכום הוא סכום כל הזוויות על כל המשולשים, והוא שווה לסכום על כל הקודקודים,
של סכום כל הזוויות שזהו קודקודן.
כלומר,
\begin_inset Formula \[
\sum_{T\in\Delta}\left(\alpha_{T}+\beta_{T}+\gamma_{T}\right)=2\pi\cdot v\]
\end_inset
מאחר וסכום כל הזוויות בקודקוד מסויים הוא
\begin_inset Formula $2\pi$
\end_inset
.
לכן, קיבלנו את המשוואות הבאות:
\begin_inset Formula \[
\begin{cases}
4\pi=2\pi v-f\pi\\
3f=2e\end{cases}\]
\end_inset
לכן,
\begin_inset Formula \[
\begin{cases}
4=2v-f\\
3f=2e\end{cases}\implies4=2v-2e+2f\]
\end_inset
וקיבלנו את נוסחאת אוילר.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
הקשר בין מספר הפאות ומספר הצלעות של פאון קמור
\end_layout
\begin_layout Claim
יהא
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
פאון קמור, שבו לכל קודקוד יש
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
\begin_inset Formula $3$
\end_inset
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
צלעות.
\end_layout
\begin_layout Claim
אזי, אם
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset
מסמן את מספר הפיאות בנות
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
צלעות, מתקיים:
\begin_inset Formula \[
\boxed{\sum_{n}\left(6-n\right)f_{n}=12}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Proof
קודם נספור את כל הצלעות שיוצאות מכל הקודקודים.
נקבל
\begin_inset Formula $3v$
\end_inset
.
מצד שני, ביטוי זה הוא בדיוק
\begin_inset Formula $2e$
\end_inset
, כי כל צלע מתקבלת מבדיוק שני קודקודים.
\end_layout
\begin_layout Proof
משוואה נוספת היא כי מספר הצלעות
\begin_inset Formula $e$
\end_inset
שווה למחצית
\begin_inset Formula $\sum_{n}nf_{n}$
\end_inset
.
שוב, משום שכל צלע שייכת בדיוק לשני פאונים:
\begin_inset Formula $2e=\sum_{n}nf_{n}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
נחזור לנוסחאת אוילר, ונקבל,
\begin_inset Formula \begin{align*}
2 & =v-e+f=\frac{2}{3}e-e+\sum f_{n}\\
& =-\frac{1}{3}e+\sum f_{n}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\sum nf_{n}+\sum f_{n}\end{align*}
\end_inset
אם כך,
\begin_inset Formula \[
12=\sum_{n}\left(6-n\right)f_{n}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Remarks
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
בקוביה, מכל קודקוד יש
\begin_inset Formula $3$
\end_inset
צלעות.
יש רק פאה מסוג אחד, והיא ריבוע, ונקבל,
\begin_inset Formula \[
12=\left(6-4\right)\cdot6\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
לטטראדר גם
\begin_inset Formula $3$
\end_inset
צלעות מכל קודקוד, ופאה מסוג אחד, משולש, ונקבל,
\begin_inset Formula \[
12=\left(6-3\right)\cdot4\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\series bold
מסקנה:
\series default
נניח כי
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
פאון קמור המורכב מפאות שהן מחומשים ומשושים בלבד.
בפאון כזה, בהכרח יש
\series bold
בדיוק
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\begin_inset Formula $12$
\end_inset
מחומשים.
\begin_inset space ~
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Subsubsection
פולרן
\end_layout
\begin_layout Standard
בשנת
\begin_inset Formula $1985$
\end_inset
, שלושה כימאים, הצליחו לבצע הפרדה כימית, סינטזה ומיקרוסקופיה, ומצאו מולקולה
שמורכבת מ-
\begin_inset Formula $60$
\end_inset
אטומי פחמן, המסודרים בצורה של כדורגל.
זו היתה הפתעה גדולה למד.
המולקולה נקראת
\begin_inset Formula $C-60$
\end_inset
.
היו כמה צורות קודמות של פחמן, אך שום אינדקציה להתכנות של הדבר.
המבנה של המולקולה הוא מבנה של איקוסהדרון, כאשר כל קודקוד מנוסה והופך למחומש
-- ונתקבל מבנה בין
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\begin_inset Formula $12$
\end_inset
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
מחומשים, המתאימים ל-
\begin_inset Formula $12$
\end_inset
הקודקודים של האיקוסהדרון.
\end_layout
\begin_layout Standard
המבנה הבזה מופעי בטבע, אפילו באפר של מדורה.
אבל הצורה הספציפית הזו של פחמן מופיעה בצורה שגרתית למדי.
\end_layout
\begin_layout Standard
המולקולה קרויה על שם אדריכל בשם
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Buckminister Fuller
\lang hebrew
, שתכנן, בין השאר, כיפה גיאודזית, שהיא חלק של איקוסהדרון.
המולקולה קרויה פולרן, על שם פולר.
הפולרן
\begin_inset Formula $C-60$
\end_inset
, זכה גם לכינוי
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Bucky-ball
\lang hebrew
, גם כן, על שם אותו אדריכל.
מתברר שיש המון צורות דומות של מולקולות פחמן, ובנוסף ל-
\begin_inset Formula $C-60$
\end_inset
, יש גם
\begin_inset Formula $C-70$
\end_inset
ועוד מולקולות עם אטומי פחמן רבים שמסודרים בפאון המכונה "פולרן".
כולם פאונים קמורים עשויים מחומשים ומשושים.
גם הוולנטיות של הגרף )מספר הקשתות בכל קודקוד( וגם של הפחמן הם
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\begin_inset Formula $3$
\end_inset
.
לכן, נוסחאת אוילר מבטיחה שבכל הפולרנים יש בדיוק
\begin_inset Formula $12$
\end_inset
מחומשים.
\end_layout
\begin_layout Standard
מהפולרנים, ניתן לייצר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Nano-Tubes
\lang hebrew
, הם יכולים להסתדר בתור צינור שגודלו -- מולקולה אחת.
המולקולה
\begin_inset Formula $C-60$
\end_inset
נחקרה היטב מכל בחינה.
\end_layout
\begin_layout Section
החבורה
\begin_inset Formula $SU_{2}\left(\CC\right)$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{align*}
U_{2}\left(\CC\right) & =\set{A|A^{\star}A=I}\\
SU_{2}\left(\CC\right) & =\set{A\in U_{2}\left(\CC\right)|\det A=1}\end{align*}
\end_inset
עבור מטריצה
\begin_inset Formula \[
A=\begin{pmatrix}a & b\\
c & d\end{pmatrix}\]
\end_inset
המטריצה ההופכית לה,
\begin_inset Formula \[
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}a & -b\\
-c & a\end{pmatrix}=A^{\star}=\begin{pmatrix}\bar{a} & \bar{c}\\
\bar{b} & \bar{d}\end{pmatrix}\]
\end_inset
ולכן, אם
\begin_inset Formula $\det A=1$
\end_inset
, אז
\begin_inset Formula \[
\bar{A}=d,\,\bar{b}=-c\]
\end_inset
ולכן,
\begin_inset Formula \[
A=\begin{pmatrix}a & b\\
c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\\
-\bar{b} & \bar{a}\end{pmatrix}\]
\end_inset
היא הצורה הכללית של מטריצה אוניטרית,
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset
, עם דטרמיננטה
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $\det A=\left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Corollary
ההעתקה
\begin_inset Formula $\left(a,b\right)\mapsto\begin{pmatrix}a & b\\
-\bar{b} & \bar{a}\end{pmatrix}$
\end_inset
היא העתקה חד-חד-ערכית ועל מ-
\begin_inset Formula $S^{3}$
\end_inset
, ספרת היחידה ב-
\begin_inset Formula $\RR^{4}$
\end_inset
, על
\begin_inset Formula $SU_{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
במילים אחרות, הספרה
\begin_inset Formula $S^{3}$
\end_inset
הומאומורפית/דיפאומורפית ל-
\begin_inset Formula $SU_{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Remarks
אם כן, על
\begin_inset Formula $S^{1}$
\end_inset
, יש מבנה של חבורה, ועל
\begin_inset Formula $S^{3}$
\end_inset
יש מבנה של חבורה.
האם על
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
יש מבנה של חבורה?
\end_layout
\begin_layout Subsection
מבנה
\begin_inset Formula $SU_{2}\left(\CC\right)$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
נכניס קוארדינטות
\begin_inset Formula \begin{align*}
a & =x_{1}+ix_{2}\\
b & =x_{3}+ix_{4}\end{align*}
\end_inset
ונעיין בקבוצה
\begin_inset Formula \begin{align*}
C_{c} & =\left\{ \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in S^{3}|x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{4}=1-c^{2}\right\} \\
& =\left\{ \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in S^{3}|x_{1}=c\right\} \end{align*}
\end_inset
עבור
\begin_inset Formula $-10$
\end_inset
, לכל
\begin_inset Formula $A\neq0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
על
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Paragraph
שלב ה'
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\varphi\left(g\right)$
\end_inset
שומר על התבנית:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\left\langle \varphi\left(g\right)A,\varphi\left(g\right)B\right\rangle & =-\frac{1}{2}\trace\left(gAg^{\star}gBg^{\star}\right)=-\frac{1}{2}\trace\left(gABg^{\star}\right)\\
& =-\frac{1}{2}\trace\left(gABg^{-1}\right)=-\frac{1}{2}\trace\left(AB\right)\end{align*}
\end_inset
לכן,
\begin_inset Formula $\varphi:SU_{2}\left(\CC\right)\to O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
הוא הומומורפיזם לחבורה שמשמרת את התבנית הריבועית הסטנדרטית.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Paragraph
שלב ו'
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
נמצא את התמונה והגרעין.
\end_layout
\begin_layout Proof
לגבי הגרעין:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\ker\varphi & =\set{g|\varphi\left(g\right)=I_{V}}=\set{g|\varphi\left(g\right)A=A\quad\forall A\in V}\\
& =\set{g|gAg^{\star}=A,\,\forall A\in V}\\
& =\left\{ g|gA^{-1}g=A\,\forall A\in V\right\} =\left\{ g|\, gA=Ag,\,\forall A\in V\right\} \end{align*}
\end_inset
נובע כי
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
סקאלר,
\begin_inset Formula $g=\lambda I$
\end_inset
, ואונטירית, ולכן,
\begin_inset Formula $g=\pm1$
\end_inset
, או,
\begin_inset Formula $\ker\varphi=\left\{ \pm I\right\} $
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
נטען כי תמונת
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
היא ב-
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
ואכן,
\begin_inset Formula \[
SU_{2}\left(\CC\right)\xrightarrow{\varphi}O_{3}\left(\RR\right)\xrightarrow{\det}\left\{ \pm1\right\} \]
\end_inset
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
רציפה, ו-
\begin_inset Formula $\det\circ\varphi$
\end_inset
רציפה, ו-
\begin_inset Formula $SU_{2}\left(\CC\right)\cong S^{3}$
\end_inset
קשיר.
על מרחב קשיר, פונקציה רציפה לא יכולה לקבל מספר סופי של ערכים, כי אז המקורות
של הערכים הללו ישרו חלוקה על המקור.
לכן, לא יתכן שהפונקציה הרציפה
\begin_inset Formula $\varphi\circ\det$
\end_inset
היא על.
לכן,
\begin_inset Formula \[
\varphi:SU_{2}\left(\CC\right)\to SO_{3}\left(\RR\right)\]
\end_inset
נותר להראות ש-
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
היא על.
זה ינתן כתרגיל.
אפשר להוכיח את זה משיקולי מימד: יש סביבה של היחידה שעוברת על סביבה של היחידה,
אבל כל סביבה של היחידה תיצור את
\begin_inset Formula $SO_{3}$
\end_inset
, כי גם היא חבורה קשירה.
\end_layout
\begin_layout Standard
קיבלנו
\begin_inset Formula \[
\begin{array}{cccc}
& SU_{2}\left(\CC\right) & & S^{3}\\
\pm I=\ker\varphi & \downarrow\varphi & & \downarrow\\
& SO_{3}\left(\RR\right)\end{array}\]
\end_inset
מבחינה טופולוגית בנינו כיסוי כפול: לכל נקודה ב-
\begin_inset Formula $SO_{3}$
\end_inset
יש
\series bold
בדיוק
\series default
שני מקורות ב-
\begin_inset Formula $SU_{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
שאלות:
\end_layout
\begin_layout Standard
לאילו מרחבים יש כיסוי כפול? ולאילו חבורות יש כיסוי כפול, כלומר, הומומורפיזם
עליהם שהמקור של כל נקודה הוא בן שני איברים?
\end_layout
\begin_layout Paragraph
מספר הערכות
\end_layout
\begin_layout Itemize
\series bold
נתחיל מ-
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
\series default
-- המרחב
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
של ה
\emph on
זוגות
\emph default
של נקודות אנטיפודיות,
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
מהווה עבורו כיסוי כפול.
למעשה, נוכל לעיין בחבורה
\begin_inset Formula $\left\{ \pm I\right\} $
\end_inset
, הפועלת על הספרה, ומסלוליה הן נקודות אנטיפודיות.
אם כן,
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
=מרחב מסלולי החבורה ב-
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
, ומסמנים
\begin_inset Formula $P=\nicefrac{S^{2}}{\left\{ \pm I\right\} }$
\end_inset
.
באופן כללי, מרחב המסלולים של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
מסומן
\begin_inset Formula $\nicefrac{X}{G}$
\end_inset
, והעתקה היא
\begin_inset Formula \begin{align*}
S:S_{2} & \to P\\
v & \mapsto\pm v=\left\{ \pm1\right\} \cdot v\end{align*}
\end_inset
אם כן, אם
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
הוא
\emph on
מרחב הישרים
\emph default
של
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
, דרך הראשית, שקול למרחב הזוגות של נקודות אנטיפודיות ב-
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
מרחב הישרים נקרא
\series bold
המרחב הפרויקטיבי
\series default
של
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן,
\begin_inset Formula $P\left(\RR^{3}\right)$
\end_inset
הוא מנה של
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
תחת
\begin_inset Formula $\left\{ \pm I\right\} $
\end_inset
, והספרה היא כיסוי כפול של המרחב הפרויקטיבי.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
תזכורת:
\end_layout
\begin_layout Standard
ב-
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, כל טרנספורמציה
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
היא סיבוב סביב ציר, וניתן לסמן אותה באמצעות הזוג
\begin_inset Formula $\left(v,\theta\right)$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
הוא ציר הסיבוב ו-
\begin_inset Formula $0<\theta<2\pi$
\end_inset
.
עבור
\begin_inset Formula $\theta=0,2\pi$
\end_inset
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
איננו מוגדר.
כלומר, לטרנספורמציה
\begin_inset Formula $A=I$
\end_inset
אין סימון יחיד כזה, ובנוסף,
\begin_inset Formula $\left(v,\theta\right)$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $\left(-v,-\theta\right)$
\end_inset
מייצגים את אותה טרנספורמציה.
\end_layout
\begin_layout Standard
יש לנו את הספרה
\begin_inset Formula $S^{2}\times\left(0,2\pi\right)$
\end_inset
, וניתן ליצור מיפוי
\begin_inset Formula \begin{align*}
\alpha:S^{2}\times\left(0,2\pi\right) & \to SO_{3}\left(\RR\right)\\
\left(v,\theta\right) & \mapsto A_{v,\theta}\end{align*}
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $A_{v,\theta}$
\end_inset
הוא סיבוב ב-
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
סביב הציר
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
, ואילו
\begin_inset Formula $A_{v,\theta}=A_{-v,-\theta}$
\end_inset
.
וכן העתקה
\begin_inset Formula \[
\varphi:SU_{2}\left(\CC\right)\backslash\left\{ \pm I\right\} \to SO^{3}\left(\RR\right)\backslash\left\{ I\right\} \]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן, קיים כיסוי כפול
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
וכיסוי כפול
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
, ושני הכיסויים הללו שקולים.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Section
הצגות אוניטריות
\end_layout
\begin_layout Definition
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חבורה.
\series bold
הצגה אוניטרית
\series default
של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
היא הומומורפיזם
\begin_inset Formula $\varphi:G\to U_{n}\left(\CC\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Definition
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
נקרא
\emph on
דרגת ההצגה
\emph default
או
\emph on
המימד
\emph default
שלה.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן, כאשר נבחר בסיס אורתונורמלי של
\begin_inset Formula $\CC^{n}$
\end_inset
, אזי
\series bold
כל
\series default
האלמנטים
\begin_inset Formula $\varphi\left(g\right)$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
, יהיו מיוצגים על ידי מטריצות אונטיריות.
באופן שקול, הצגה אוניטרית היא הומומורפיזם
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL\left(V\right)$
\end_inset
, כך שעל
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
יש תבנית הרמיטית חיובית-לחלוטין, שנשמרת תחת כל
\begin_inset Formula $\varphi\left(g\right)$
\end_inset
, לכל
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
שקילות
\end_layout
\begin_layout Standard
אם
\begin_inset Formula $\varphi_{1}:G\to GL\left(V_{1}\right)$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $\varphi_{2}:G\to GL\left(V_{2}\right)$
\end_inset
הצגות אוניטריות, נאמר כי הן
\emph on
שקולות
\emph default
אם יש טרנספורמציה הפיכה
\begin_inset Formula $T:V_{1}\to V_{2}$
\end_inset
, שמקיימת
\begin_inset Formula \[
T\circ\varphi_{1}\left(g\right)=\varphi_{2}\left(g\right)\circ T\]
\end_inset
\begin_inset Formula \[
\begin{array}{ccc}
V_{1} & \xrightarrow{T} & V_{2}\\
\begin{array}{ccc}
\varphi_{1}\left(g\right) & \downarrow & \quad\end{array} & & \begin{array}{ccc}
\quad & \downarrow & \varphi_{2}\left(g\right)\end{array}\\
V_{1} & \xrightarrow{T} & V_{2}\end{array}\]
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
שומרת על המכפלות הפנימיות:
\begin_inset Formula \[
\left\langle Tv,Tw\right\rangle _{V_{1}}=\left\langle v,w\right\rangle _{V_{2}}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Corollary
אם קיים
\begin_inset Formula $\varphi_{1}:G\to U_{n}\left(\CC\right)$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $\varphi_{2}:G\to U_{n}\left(\CC\right)$
\end_inset
הן שקולות
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
יש
\begin_inset Formula $U_{n}\left(\CC\right)\ni U$
\end_inset
, כך ש-
\begin_inset Formula \[
U\varphi_{1}\left(g\right)U^{-1}=\varphi_{2}\left(g\right)\qquad\forall g\in G\]
\end_inset
כלומר, החבורות
\begin_inset Formula $\varphi_{1}\left(g\right)$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $\varphi_{2}\left(G\right)$
\end_inset
צמודות בחבורה האוניטרית.
\end_layout
\begin_layout Subsection
הצגות פריקות
\end_layout
\begin_layout Definition
אם
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL\left(V\right)$
\end_inset
הצגה אוניטרית ביחס למכפלה הפנימית
\begin_inset Formula $\left\langle ,\right\rangle $
\end_inset
, אז תת-מרחב
\begin_inset Formula $W\subseteq W$
\end_inset
נקרא
\series bold
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטי
\series default
)או
\begin_inset Formula $\varphi\left(G\right)$
\end_inset
אינוורינטי( אם
\begin_inset Formula \[
\varphi\left(g\right)W\subseteq W\qquad\forall g\in G\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
נוכל לעיין באוסף הטרנספורמציות
\begin_inset Formula $\nicefrac{\varphi\left(g\right)}{W}:W\to W$
\end_inset
.
זו חבורה, שהיא תמונה של
\begin_inset Formula $\varphi\left(G\right)$
\end_inset
, ולכן של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
.
ההעתקה:
\begin_inset Formula \[
g\mapsto\nicefrac{\varphi\left(g\right)}{W}\]
\end_inset
זו חבורה שהיא תנוה של
\begin_inset Formula $\varphi\left(G\right)$
\end_inset
, ולכן
\begin_inset Formula \[
g\mapsto\nicefrac{\varphi\left(g\right)}{W}\]
\end_inset
היא הומומורפיזם
\begin_inset Formula $\psi:G\to GL\left(W\right)$
\end_inset
, והיא הצגה אוניטרית ביחס לתבנית שהיא הצמצום של
\begin_inset Formula $\left\langle \right\rangle _{V}$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $W$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset
נקראת
\emph on
תת-הצגה
\emph default
של
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
כידוע, אם טרנספורמציה
\begin_inset Formula $U$
\end_inset
שומרת על תת-מרחב וקטורי אינוורינטי, אז
\begin_inset Formula $U$
\end_inset
שומרת גל עם
\begin_inset Formula $W^{\perp}$
\end_inset
אינוורינטי: לכן, יש גם הומומורפיזם
\begin_inset Formula \begin{align*}
\sigma:G & \to GL\left(W^{\perp}\right)\\
\sigma\left(g\right) & =\left.\varphi\left(g\right)\right\vert _{W^{\perp}}\end{align*}
\end_inset
וזו שוב הצגה אוניטרית.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
תזכורת
\end_layout
\begin_layout Standard
אם
\begin_inset Formula $W\subseteq V$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $W$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $U$
\end_inset
-אינוורינטי, אזי בבסיס
\begin_inset Formula $\left\{ \underbrace{w_{1},\ldots,w_{k}}_{\in W},v_{k+1},\ldots,v_{n}\right\} $
\end_inset
, אז ל-
\begin_inset Formula $U$
\end_inset
יש הצגה,
\begin_inset Formula \[
\begin{array}{c|ccc|ccc}
& U_{w_{1}} & \ldots & U_{w_{k}} & U_{v_{k+1}} & \ldots & U_{v_{n}}\\
\hline w_{1}\\
\vdots & & \star & & & \star\\
w\\
\hline v_{k+1}\\
\vdots & & 0 & & & \star\\
v_{n}\end{array}\]
\end_inset
במקרה שלנו, נוכל לקחת תמיד בסיס
\begin_inset Formula $w_{1},\ldots,w_{k},y_{k+1},\ldots y_{k}$
\end_inset
כך של-
\begin_inset Formula $U$
\end_inset
יש הצגה כמטריצת בלוקים.
\begin_inset Formula \[
\begin{array}{c|c|c}
& W & W^{\perp}\\
\hline W & \psi\left(g\right) & 0\\
\hline W^{\perp} & 0 & \sigma\left(g\right)\end{array}\]
\end_inset
לכל איבר
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
יש אז הצגה:
\begin_inset Formula $\varphi=\psi\otimes\sigma$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Definition
הצגה אוניטרית
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL\left(V\right)$
\end_inset
נקראת
\series bold
אי-פריקה
\series default
אם אין תת-מרחב
\begin_inset Formula $\varphi\left(G\right)$
\end_inset
אינוורינטי, פרט כמובן ל-
\begin_inset Formula $\left\{ 0\right\} $
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Claim
כל הצגה אוניטרית מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
\end_layout
\begin_layout Theorem
)
\emph on
משקה?
\emph default
(
\end_layout
\begin_layout Theorem
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חבורה סופית, ויהא
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL_{n}\left(\CC\right)$
\end_inset
הומומורפיזם.
אזי, קיימת העתה הפיכה
\begin_inset Formula $A:\CC^{n}\to\CC^{n}$
\end_inset
, כך שכל המטריצות
\begin_inset Formula $A\varphi\left(g\right)A^{-1}$
\end_inset
הן ב-
\begin_inset Formula $U_{n}\left(\CC\right)$
\end_inset
, כלומר, אוניטריות.
\end_layout
\begin_layout Theorem
באופן שקול: לכל חבורה סופית
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, אם
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL\left(V\right)$
\end_inset
הומומורפיזם, אזי יש על
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
תבנית הרמיטית חיובית לא-מנוונת, ו-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטית.
\end_layout
\begin_layout Proof
תהא
\begin_inset Formula $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle $
\end_inset
תבנית הרמיטית-חיובית לא-מנוונת כלשהי.
נגדיר תבנית חדשה:
\begin_inset Formula \[
\left(v,w\right)_{G}=\sum_{g\in G}\left\langle \varphi\left(g\right)V,\varphi\left(g\right)w\right\rangle \]
\end_inset
ברור כי קיים
\begin_inset Formula $\left(\varphi\left(g\right)v,\varphi\left(h\right)w\right)_{G}=\left(v,w\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\left(v,w\right)_{G}$
\end_inset
היא תבנית הרמיטית, חיובית, לא מנוונת.
ברור כי
\begin_inset Formula \[
\left(v,v\right)_{G}=\sum_{g\in G}\left\langle \varphi\left(g\right)v,\varphi\left(g\right)v\right\rangle >0\qquad v\neq0\]
\end_inset
והיא הרמיטית.
לכן, בבסיס אורתונורמלי של התבנית הזו, המטריצות שמייצגות את
\begin_inset Formula $\varphi\left(g\right)$
\end_inset
הן אוניטריות.
\end_layout
\begin_layout Corollary
כל הצגה סוף-מימדית של חבורה סופית מעל
\begin_inset Formula $\CC$
\end_inset
)כל הומומורפיזם
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL_{n}\left(\CC\right)$
\end_inset
( ניתנת לפירוק לסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
\end_layout
\begin_layout Remarks
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
באופן כללי, תתכן הצגה, כלומר, הומומורפיזם
\begin_inset Formula $\alpha:G\to GL_{n}\left(\CC\right)$
\end_inset
, כך שיש תת-מרחב
\begin_inset Formula $\alpha\left(g\right)$
\end_inset
-אינוורינטי משותף לכל
\begin_inset Formula $\alpha\left(g\right)$
\end_inset
, אבל אין לו משלים אינוורינטי.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
דוגמא:
\begin_inset Formula $G=\mathbb{Z}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula \begin{align*}
\alpha:\mathbb{Z} & \to GL_{2}\left(\CC\right)\\
\alpha\left(n\right) & =\begin{pmatrix}1 & n\\
& 1\end{pmatrix}\end{align*}
\end_inset
\begin_inset Formula $\alpha\left(n\right)$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $n\neq0$
\end_inset
,
\series bold
איננה
\series default
ניתנת לליכסון, לכן, כל
\begin_inset Formula $\alpha\left(n\right)$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $n\neq0$
\end_inset
, יש לה וקטור-עצמי שהוא
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}1\\
0\end{pmatrix}$
\end_inset
, אבל אין לה וקטור עצמי נוסף בלתי תלוי, ולכן אין לה תת-מרחב אינוורינטי משלים
ל-
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}0\\
1\end{pmatrix}$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
ניתן כמובן לדון בהצגות
\begin_inset Formula $\varphi:G\to SO_{n}\left(\RR\right)$
\end_inset
, כלומר, הצגות אורתוגונליות.
ברור כשלכל הצגה
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL_{n}\left(\RR\right)$
\end_inset
, של חבורה סופית, ניתן למצוא תבנית סימטרית חיובית לא-מנוונת, שהיא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטית )על ידי סכימה על
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
של תבנית אחת כזו(.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
גם כאן, כל הצגה אורתוגונלית ניתנת לפירוק לסכום של הצגות אי-פריקות מעל
\begin_inset Formula $\RR'$
\end_inset
וכל הצגה
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL_{n}\left(\RR\right)$
\end_inset
של חבורה סופית, ניתנת לפירוק לסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
נשים לב לכך שהצגה של חבורה
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
יכולה להיות אי-פריקה מעל
\begin_inset Formula $\RR$
\end_inset
, אבל פריקה מעל
\begin_inset Formula $\CC$
\end_inset
.
כלומר, אם
\begin_inset Formula $\varphi:G\to O_{n}\left(\RR\right)\subseteq U_{n}\left(\CC\right)$
\end_inset
, אזי ההצגה על
\begin_inset Formula $\RR^{n}$
\end_inset
יכולה להיות אי-פריקה, אבל היא תהיה הצגה על
\begin_inset Formula $\CC^{n}$
\end_inset
, תהיה פריקה
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Paragraph
דוגמה
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $G=\mathbb{Z}_{4}$
\end_inset
, וההצגה היא סיבוב ב-
\begin_inset Formula $\frac{\pi}{2}$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
, כאשר היוצר
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
עובר ל-
\begin_inset Formula \[
u\sim\begin{pmatrix}0 & 1\\
-1 & 0\end{pmatrix}\]
\end_inset
תת-מרחב וקטורי אינוורינטי ב-
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
הוא בעצם וקטור עצמי, אבל ברור שלסיבוב לא טריוויאלי אין ישרים אינוורינטים.
כלומר ל-
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{4}$
\end_inset
יש הצגה אי-פריקה מעל
\begin_inset Formula $\RR$
\end_inset
, על
\begin_inset Formula $\RR^{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
אבל
\begin_inset Formula $\RR^{2}\subseteq\CC^{2}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $u=\begin{pmatrix}0 & 1\\
-1 & 0\end{pmatrix}\in U_{2}\left(\CC\right)$
\end_inset
.
כל טרנספורמציה אוניטרית ניתנת לליכסון, כלומר, יש ל-
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
שני וקטורים עצמיים ל-
\begin_inset Formula $\CC^{2}$
\end_inset
, וההצגה
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{4}=\left\{ I,u,u^{2},u^{3}\right\} $
\end_inset
היא פריקה:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\begin{pmatrix}0 & 1\\
-1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\
i\end{pmatrix} & =i\begin{pmatrix}1\\
i\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}0 & 1\\
-1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\
-i\end{pmatrix} & =\left(-i\right)\begin{pmatrix}1\\
-i\end{pmatrix}\end{align*}
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Claim
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חבורה אבלית.
אזי, כל הצגה אוניטרית של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
שהיא אי-פריקה היא ממימד אחד.
\end_layout
\begin_layout Lemma
לכל קבוצה
\begin_inset Formula $\mathcal{A}$
\end_inset
של מטריצות אוניטריות מחלפות יש ליכסון משותף
\end_layout
\begin_layout Proof
)של הלמה(
\end_layout
\begin_layout Proof
אם כל
\begin_inset Formula $A\in\mathcal{A}$
\end_inset
הן סקלאריות, אז סיימנו.
\end_layout
\begin_layout Proof
אחרת, תהא
\begin_inset Formula $A\in\mathcal{A}$
\end_inset
שאיננה סקאלרית, ויהא
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset
ערך-עצמי של
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $V_{\lambda}=\ker\left(A-\lambda I\right)$
\end_inset
, מקיים
\begin_inset Formula \[
0<\dim V_{\lambda}<\dim V\]
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{A}$
\end_inset
, קיים
\begin_inset Formula $A'V_{\lambda}\subseteq V_{\lambda}$
\end_inset
, כי אם
\begin_inset Formula $V_{\lambda}\ni w$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula \[
A\left(A'w\right)=A'\left(Aw\right)=A'\lambda w=\lambda\left(A'w\right)\]
\end_inset
כלומר,
\begin_inset Formula $A'w\in V_{\lambda}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
נוכל להניח באינדוקציה כל לכל הטרנספורמציות ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{A}$
\end_inset
יש ליכסון משותף על
\begin_inset Formula $V_{\lambda}$
\end_inset
, וגם על
\begin_inset Formula $V_{\lambda}'$
\end_inset
, משום שהמימדים שלהם יותר קטנים, והמטריצות אוניטריות.
\end_layout
\begin_layout Theorem
)
\emph on
הלמה של
\lang english
Schur
\emph default
\lang hebrew
( תהא
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL\left(V\right)$
\end_inset
הצגה אוניטרית של חבורה
\end_layout
\begin_layout Theorem
אזי, ההצגה היא אי-פריקה
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
כל אופרטור מתחלף עם כל
\begin_inset Formula $\varphi\left(g\right)$
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
הוא סקאלר.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\Leftarrow$
\end_inset
נניח ההצגה היא אי פריקה, ונניח
\begin_inset Formula $S\varphi\left(g\right)=\varphi\left(G\right)S$
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
.
כל
\begin_inset Formula $S$
\end_inset
בעל ערך-עצמי
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset
ובעל וקטור עצמי )מעל
\begin_inset Formula $\CC$
\end_inset
(, ויהא
\begin_inset Formula \[
V_{\lambda}=\ker\left(S-\lambda I\right)\]
\end_inset
\begin_inset Formula $\dim V_{\lambda}>0$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $V_{\lambda}$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $\varphi\left(G\right)$
\end_inset
אינוורינטי, כי אם
\begin_inset Formula $w\in V_{\lambda}$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula \[
S\varphi\left(g\right)w=\varphi\left(g\right)Sw=\varphi\left(g\right)\lambda w=\lambda\left(\varphi\left(g\right)w\right)\]
\end_inset
כלומר,
\begin_inset Formula $\varphi\left(g\right)w\in V_{\lambda}$
\end_inset
.
וזו סתירה לכך ש-
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
הצגה אי פריקה, אלא אם כן
\begin_inset Formula \[
\dim V=\dim V_{\lambda}\]
\end_inset
כלומר,
\begin_inset Formula $S=\lambda I$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\Rightarrow$
\end_inset
נניח שכל אופרטור
\begin_inset Formula $S$
\end_inset
שמתחלף עם כל
\begin_inset Formula $\varphi\left(g\right)$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
, הוא סקאלר.
נניח בשלילה כי
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
פריקה, ואם כן,
\begin_inset Formula $V=W\oplus W^{\perp}$
\end_inset
, כאשר כל אחד מהם נותן תת-הצגה של
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset
.
ויהא
\begin_inset Formula $S=P_{W}$
\end_inset
ההטלה הניצבת על
\begin_inset Formula $W$
\end_inset
,כלומר,
\begin_inset Formula \[
P_{W}\left(u,v\right)=u\]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $v\in W^{\perp},u\in W$
\end_inset
.
נראה כי ההטלה על תת-מרחב אינוורינטי מתחלפת עם פעולת החבורה.
ואכן,
\begin_inset Formula \[
P_{w}\varphi\left(g\right)\left(u+v\right)=P_{w}\left(\varphi\left(g\right)u+\varphi\left(g\right)v\right)=\varphi\left(g\right)u\]
\end_inset
בכיוון ההפוך:
\begin_inset Formula \[
\varphi_{g}P_{w}\left(u+v\right)=\varphi\left(g\right)u\]
\end_inset
לכן,
\begin_inset Formula \[
P_{w}\varphi\left(g\right)=\varphi\left(g\right)P_{w}\]
\end_inset
אבל
\begin_inset Formula $P_{w}$
\end_inset
סקלר, כך אם הוא
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
או
\begin_inset Formula $I$
\end_inset
, וזהל א יתכן אם
\begin_inset Formula $V=W\oplus W^{\perp}$
\end_inset
, פירוק לא-טריוויאלי.
\end_layout
\begin_layout Corollary
אם
\begin_inset Formula $\varphi:G\to GL\left(V\right)$
\end_inset
הצגה אוניטרית אי-פריקה, אזי המרכז )לא
\begin_inset Formula $Z\left(G\right)$
\end_inset
, השני..
עם הסגול ב-מ'( של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
עובר לטרנספורמציה סקאלרית.
\end_layout
\begin_layout Subsection
ההצגה המיוחסת לפעולה
\end_layout
\begin_layout Standard
תהא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חבורה סופית הפועלת על קבוצה סופית.
נגדיר מכך הצגה אוניטרית של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
.
יהא
\begin_inset Formula \[
V=\CC^{X}=\left\{ f:X\to\CC\right\} \]
\end_inset
אזי,
\begin_inset Formula $\dim V=\#X$
\end_inset
.
\begin_inset Formula \[
\left\langle f_{1},f_{2}\right\rangle =\sum_{x\in X}f_{1}\left(x\right)\overline{f_{2}\left(x\right)}\]
\end_inset
ההצגה
\begin_inset Formula \[
\left(T_{g}f\right)\left(x\right)=f\left(g^{-1}x\right)\]
\end_inset
אזי
\begin_inset Formula $Tg$
\end_inset
אופרטור לינארי אונטרי:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\left\langle T_{g}f,T_{g}h\right\rangle & =\sum_{x\in X}f\left(g^{1}x\right)\overline{h\left(g^{-1}x\right)}\\
& =\sum_{y\in x}f\left(y\right)\overline{h\left(y\right)}=\left\langle f,h\right\rangle \end{align*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
אם כן,
\begin_inset Formula $g\mapsto T_{g}$
\end_inset
הוא הומומורפיזם:
\begin_inset Formula \[
T_{a}T_{b}f\left(x\right)=T_{a}\left(T_{b}f\right)\left(x\right)=\left(T_{b}f\right)\left(a^{-1}x\right)=f\left(b^{-1}a^{-1}\right)x=f\left(\left(ab\right)^{-1}x\right)=T_{ab}f\left(x\right)\]
\end_inset
לכן,
\begin_inset Formula $g\mapsto Tg$
\end_inset
הצרה אוניטרית של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
במרחב
\begin_inset Formula $\CC^{X}=\ell^{2}\left(X\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
הפונקציה
\begin_inset Formula $f\left(x\right)\equiv1$
\end_inset
, היא
\begin_inset Formula $T_{g}$
\end_inset
אינוורנטית לכל
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
.
\begin_inset Formula \[
1^{\perp}=\left\{ f|f\perp1\right\} =\set{f|\sum_{x\in X}f\left(x\right)=0}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
דוגמאות
\end_layout
\begin_layout Paragraph
\begin_inset Formula $G=C_{n}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $X=C_{n}$
\end_inset
, והפעולה בהזזות:
\begin_inset Formula \[
\varphi_{i}\left(j\right)=j+i\left(\mod n\right)\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
קיימת הצגה של
\begin_inset Formula $C_{n}$
\end_inset
על
\begin_inset Formula $\ell^{2}\left(X\right)$
\end_inset
, ואנו מעוניינים לפרק אותה להצגות אי-פריקות.
נצפה לפירוק של ההצגה לסכום ישר של
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
תתי-מרחבים חד-מימדיים אינורינטיים, כי
\begin_inset Formula $C_{n}$
\end_inset
אבלית.
כלומר, לליכסון משותף של כל אופרטורי ההצגה.
כאן, כמובן, די ללכסן יוצר של
\begin_inset Formula $C_{n}$
\end_inset
, ולשם כך נעיין בבסיס של
\begin_inset Formula $\ell^{2}\left(X\right)$
\end_inset
, ונציג את היוצר כמטריצה.
הבסיס שניקח הוא
\begin_inset Formula $\delta_{x\left(y\right)}=\begin{cases}
1 & ,y=x\\
0 & ,y\neq x\end{cases}$
\end_inset
.
קיים כמובן
\begin_inset Formula $T_{g}\left(\delta_{x}\right)=\delta_{gx}$
\end_inset
.
שהרי,
\begin_inset Formula \[
T_{g}\left(\delta_{x}\right)\left(y\right)=\delta_{x\left(g^{-1}y\right)}=\begin{cases}
1 & ,y=gx\\
0 & ,else\end{cases}=\delta_{gx}\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
נרשום את המטריצה של
\begin_inset Formula $A=T_{\varphi_{1}}$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \[
\begin{array}{c|ccccc}
& A\left(\delta_{0}\right) & A\left(\delta_{1}\right) & A\left(\delta_{2}\right) & \cdots & A\left(\delta_{n-1}\right)\\
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & & 0\\
2 & 0 & 1 & 0 & & 0\\
3 & 0 & 0 & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\
n-1 & 0 & 0 & 0 & & 0\end{array}\]
\end_inset
וקיבלנו מטריצה סירקולנטית, שמזיזה את אברי הבסיס הסטדנרטי ב-
\begin_inset Formula $1\left(\mod n\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
אוניטרית, ו-
\begin_inset Formula $A^{n}=I$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
הוא ע"ע שמתאים לוקטור עצמי שהוא פונקציה קבועה.
הפולינום האופייני הוא
\begin_inset Formula $z^{n}-1$
\end_inset
, והערכים העצמיים הם שורשי יחידה מסדר
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
, ובמקרה שלנו, מופיעים כל שורשי היחידה מסדר
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
, כל אחד -- פעם אחת.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם נסמן ב-
\begin_inset Formula $\zeta_{n}=e^{\frac{2\pi i}{n}}$
\end_inset
, שורש יחידה פרימיטיבי מסדר
\begin_inset Formula $n$
\end_inset
, נוכל לעיין בפונקציה
\begin_inset Formula \[
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 2 & \cdots & n-1\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & & \downarrow\\
1 & \zeta_{n} & \zeta_{n}^{2} & \cdots & \zeta^{n-1} & =f_{1}\end{array}\]
\end_inset
אזי,
\begin_inset Formula \[
T_{\varphi_{1}}f_{1}=Af_{1}=\lambda_{n}f_{1}\]
\end_inset
אזי,
\begin_inset Formula $f_{1}$
\end_inset
וקטור-עצמי של
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
עם וקטור עצמי
\begin_inset Formula $\zeta_{n}$
\end_inset
.
נסתכל על הפונקציה:
\begin_inset Formula \[
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 2 & \cdots & n-1\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & & \downarrow\\
\zeta_{n} & \zeta_{n}^{2} & \zeta_{n}^{4} & \cdots & \zeta_{n}^{2\left(n-1\right)} & =f_{2}\end{array}\]
\end_inset
אזי
\begin_inset Formula $T_{\varphi_{1}}f_{2}=Af_{2}=\zeta_{n}^{2}f_{2}$
\end_inset
.
וכן הלאה:
\begin_inset Formula \[
f_{j}\left(k\right)=\zeta_{n}^{jk}\]
\end_inset
אזי,
\begin_inset Formula $\left\{ f_{j}\right\} _{j=0}^{n-1}$
\end_inset
בסיס אורתנורמלי של
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
המטריצה
\begin_inset Formula $\left(e^{2\pi i\frac{jk}{n}}\right)_{i,j=0,\ldots,n-1}$
\end_inset
היא מטריצה שהשורות שלה הם וקטורים עצמיים של
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
המטריצה הזו היא
\series bold
טרנספורם-פורייה
\series default
של החבורה האבלית.
זו המטריצה של הוקטורים העצמיים של ההצגות.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
ביתר כלליות
\end_layout
\begin_layout Standard
אם
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
לאו-דווקא אבלית, אז
\begin_inset Formula \[
\ell_{2}\left(X\right)=V_{1}\oplus\cdots\oplus V_{k}\]
\end_inset
כאשר כל
\begin_inset Formula $V_{i}$
\end_inset
, מרחב
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטי, אי-פריק.
\end_layout
\begin_layout Subsection
הצגות של חבורות קומפקטיות
\end_layout
\begin_layout Standard
נרצה לכתוב הצגות של חבורות קומפקטיות.
נדות בהצגות של החבורה
\begin_inset Formula $SU\left(1\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
אינטגרל-אינוורינטי
\end_layout
\begin_layout Standard
נניח
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
חבורה קומפקטית )
\begin_inset Formula $G=\mathbb{T},SO_{3}\left(\RR\right),O_{3}\left(\RR\right),U_{2}\left(\CC\right)$
\end_inset
(, ונניח
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
מרחב-מטרי קומפקטי, שעליו
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
פועלת, והפעולה רציפה.
)למשל,
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, פועלת על
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\mathbb{T}$
\end_inset
פועלת על עצמה בהזזות..(
\end_layout
\begin_layout Definition
פונקציונאל לינארי
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset
ממרחב הפונקציות הרציפות הממשיות על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
)שנסמן
\begin_inset Formula $C\left(X\right)$
\end_inset
( ל-
\begin_inset Formula $\RR$
\end_inset
, נקרא
\series bold
אינטגרל
\series default
מנורמל אם הוא מקיים:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\Lambda\left(f\right)\geq0$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $f\geq0$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\Lambda\left(1\right)=1$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
אם
\begin_inset Formula $f\left(x_{x}\right)>0$
\end_inset
, לאיזשהו
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $f\geq0$
\end_inset
, אזי
\begin_inset Formula $\Lambda\left(F\right)>0$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
נסמן
\begin_inset Formula \begin{align*}
\Lambda\left(f\right) & =\int_{X}f\\
\int_{X}\left(\alpha f+\beta h\right) & =\alpha\int_{X}f+\beta\int_{X}h\end{align*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
האינטגרל נקראה
\series bold
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטי
\series default
, אם
\begin_inset Formula \[
\int_{X}f\circ g=\int_{X}f\]
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Paragraph
דוגמאות
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
סופית,
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
סופי, ו-
\begin_inset Formula \[
\int_{X}f=\frac{1}{\left|X\right|}\sum_{x\in X}f\left(x\right)\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $G=\mathbb{T}$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $X=\mathbb{T}$
\end_inset
, אם פעולה בהזזות.
\begin_inset Formula \[
\int_{X}f=\int_{\mathbb{T}}f\left(\theta\right)\d\theta\]
\end_inset
אז האינטגרל מוגדר ומקיים את התכונות, והוא אינוורינטי.
כלומר,
\begin_inset Formula \[
\int_{\mathbb{T}}f\left(\theta+\psi\right)\d\theta=\int_{\mathbb{T}}f\left(\theta\right)\d\theta\]
\end_inset
"המידה היא אינוורינטית תחת פעולת החבורה".
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X=S^{2}$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $G=SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
נרצה לתת לכדור-על-הספרה )מעגל שהוא חיתוך של מישור כלשהו עם הספרה( מידה
אינוורינטית.
נרחיב את הפונקציה שלנו
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
לכדור, כך שהפונקציה מקבלת את אותו הערך על כל הקרן כמו על שפת הכדור.
הפונקציה הזו רציפה )מלבד בראשית(.
עכשיו, יש לנו פונקציה המוגדרת על
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
, ונוכל לבצע אינטגרציה על
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
.
במרחב, אם נפעיל מטריצה הפיכה ולאחר מכן נבצע אינטגרציה, האינטגרל יוכפל בדטרמיננט
המטריצה.
לכן, אם נצמצם את הדיון לטרנספורמציות אורתוגונליות, עם
\begin_inset Formula $\det=1$
\end_inset
)ששומרות על הספרה(, אז הן מנהסתם ישמרו על האינטגרל.
\begin_inset Formula \[
\int_{S^{2}}f\left(\theta,\phi\right)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\, f\left(\cos\theta\cos\phi,\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\right)\sin\theta\,\d\theta\d\phi\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
כמו בחבורות סופיות, נגדיר:
\begin_inset Formula \begin{align*}
T_{g}f\left(x\right) & =f\left(g^{-1}x\right)\\
T_{g}:C\left(X\right) & \to C\left(X\right)\end{align*}
\end_inset
העתקה לינארית מפוקנציות רציפות על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
לפונקציות רציפות על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
.
נגדיר:
\begin_inset Formula \[
\left\langle f,h\right\rangle =\int_{X}f\bar{h}\]
\end_inset
זו תבנית הרמיטית,
\begin_inset Formula $\left\langle f,h\right\rangle =\overline{\left\langle h,f\right\rangle }$
\end_inset
, המקיימת ש-
\begin_inset Formula $\left\langle f,f\right\rangle >0$
\end_inset
, אלא אם כן
\begin_inset Formula $f\equiv0$
\end_inset
.
ואכן,
\begin_inset Formula $\left\langle f,f\right\rangle =\int_{X}\left|f\right|^{2}$
\end_inset
, וזוהי פונקציה ממשית-אי-שלילית, ולכן, על פי ההנחות שלנו, האינטגרל גדול
מאפס אלא אם היא אפס זהותית.
התבנית הזו היא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטית.
ואכן:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\left\langle T_{g}f,T_{g}h\right\rangle & =\int_{X}f\bar{h}\left(g^{-1}x\right)\\
& =\int_{X}f\bar{h}\circ g=\left\langle f,h\right\rangle \end{align*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Corollary
אם יש על
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
אינטגרל אינוורינטי תחת
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
, אזי יש הצגה של
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
על המרחב הוקטורי
\begin_inset Formula $C\left(X\right)$
\end_inset
, כך שהצגה זו שומרת על תבנית הרמיטית, חיובית לחלוטין.
\end_layout
\begin_layout Standard
במימד אינסופי, כל וקטור הוא גבול של סידרה של וקטורים, לאו-דווקא סופית.
אנו מעוניינים לפרק הצגה זו.
ב
\end_layout
\begin_layout Standard
שלב ראשון, נתחיל מהבעיה הפשוטה הבאה:
\end_layout
\begin_layout Standard
יהא
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
מרחב וקטורי סוף ממדי מעל
\begin_inset Formula $\CC$
\end_inset
, ונניח הצגה
\begin_inset Formula \[
\pi:\mathbb{T}\to GL\left(V\right)\]
\end_inset
נניח כי
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset
פונקציה רציפה, כלומר,
\begin_inset Formula $k_{\theta}\mapsto\pi\left(k_{\theta}\right)v$
\end_inset
היא פונקציה רציפה.
כלומר,
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset
הצגה רציפה.
\end_layout
\begin_layout Claim
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
יש על
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
תבנית הרמיטית אינוורינטית תחת
\begin_inset Formula $\mathbb{T}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
מתפרק לסכום-ישר של הצגות אי-פריקות של
\begin_inset Formula $\mathbb{T}$
\end_inset
, שכל אחת ממימד
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\numeric off
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
האופרטור
\begin_inset Formula \[
P_{V}=\int_{\mathbb{T}}\pi\left(k_{\theta}\right)v\d\theta\]
\end_inset
הוא האופרטור של הטלה ניצבת על מרחב בהצגה
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
נגדיר
\begin_inset Formula \[
\left\langle v,w\right\rangle =\int_{\mathbb{T}}\left[\pi\left(k_{\theta}\right)v,\pi\left(k_{\theta}\right)w\,\right]\d\theta\]
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $\left[v,w\right]$
\end_inset
תבנית הרמיטית חיובית לחלוטין כלשהי.
התבנית
\begin_inset Formula $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle $
\end_inset
היא תבנית הרמיטית חיובית לחלוטין ואינוורינטית:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\left\langle \pi\left(k_{\alpha}\right)v,\pi\left(k_{\alpha}\right)w\right\rangle & =\int_{\mathbb{T}}\left[\pi\left(k_{\theta}\right)\pi\left(k_{\alpha}\right)v,\pi\left(k_{\theta}\right)\pi\left(k_{\alpha}\right)w\right]\d\theta\\
& =\int_{0}^{2\pi}\left[\pi\left(k_{\theta+\alpha}\right)v,\pi\left(k_{\theta+\alpha}\right)w\right]\d\theta=\left\langle v,w\right\rangle \end{align*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
כאשר ההצגה אוניטרית, ברור שיש פירוק לסכום ישר של מרחבים אינוורינטיים, אי
פריקים.
החבורה אבלית, ולכן להצגות אי-פריקות, מימד
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
נוכיח כי
\begin_inset Formula $P=P^{\star}$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \begin{align*}
\left\langle Pv,w\right\rangle & =\left\langle \int_{\mathbb{T}}\pi\left(k_{\theta}\right)v\d\theta,w\right\rangle \\
& =\int_{\mathbb{T}}\left\langle \pi\left(k_{\theta}\right)v,w\right\rangle \d\theta\\
& =\int_{\mathbb{T}}\left\langle v,\pi\left(k_{\theta}^{-1}\right)w\right\rangle \d\theta\\
\left\langle P^{\star}v,w\right\rangle & =\left\langle v,Pw\right\rangle \\
& =\left\langle v,\int_{\mathbb{T}}\pi\left(k_{\theta}\right)w\d\theta\right\rangle \\
& =\int_{\mathbb{T}}\left\langle v,\pi\left(k_{\theta}\right)w\right\rangle \d\theta\end{align*}
\end_inset
על
\begin_inset Formula $\mathbb{T}$
\end_inset
, ההעתקה
\begin_inset Formula $i:k_{\theta}\mapsto k_{\theta}^{-1}$
\end_inset
היא שומרת מידה, ולכן האינטגרלים שווים.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $P^{2}=P$
\end_inset
: ואכן,
\begin_inset Formula \begin{align*}
\left\langle P\left(Pv\right),w\right\rangle & =\left\langle P\left(\int_{\mathbb{T}}\pi\left(k_{\theta}\right)v\d\theta\right),w\right\rangle \\
& =\left\langle \int_{\mathbb{T}}\pi\left(k_{\theta}\right),Pw\right\rangle =\int_{\mathbb{T}}\left\langle \pi\left(k_{\theta}\right)v,Pw\right\rangle \d\theta\\
& =\int_{\mathbb{T}}\left\langle P\pi\left(k_{\theta}\right)v,w\right\rangle \d\theta=\int_{\mathbb{T}}\left\langle \int_{\mathbb{T}}\pi\left(k_{\alpha}\right)\pi\left(k_{\theta}\right)v\d\alpha,w\right\rangle \d\theta\\
& =\int_{\mathbb{T}}\left(\int_{\mathbb{T}}\left\langle \pi\left(k_{\theta+\alpha}\right)v,w\right\rangle \d\alpha\right)\d\theta\\
& =\int_{\mathbb{T}}\left\langle \int_{\mathbb{T}}\pi\left(k_{\alpha}\right)v\d\alpha,w\right\rangle \d\theta\\
& =\int_{\mathbb{T}}\left\langle Pv,w\right\rangle \d\theta=\left\langle Pv,w\right\rangle \int_{\mathbb{T}}\d\theta=\left\langle Pv,w\right\rangle \end{align*}
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Paragraph
תרגיל:
\end_layout
\begin_layout Standard
בחרו
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
סופית, ו-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
סופית, ואת המרחב
\begin_inset Formula $\ell^{2}\left(X\right)$
\end_inset
.
האופרטור
\begin_inset Formula $P=\frac{1}{\#G}\sum_{g\in G}T_{g}$
\end_inset
.
הוכיחו כי
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
היא ההטלה הניצבת על האינוורינטה.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
לבסוף, לכל וקטור
\begin_inset Formula \[
Pv=\int_{\mathbb{T}}\pi\left(k_{\theta}\right)v\d\theta\]
\end_inset
היא אכן אינוורינטה.
\end_layout
\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Standard
לכן, יש לנו אנלוגיה מושלמת בין המקרה של סיבוב סופי, על
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
\end_inset
, לסיבוב כלשהו על
\begin_inset Formula $\mathbb{T}$
\end_inset
, של המעגל על עצמו.
\end_layout
\begin_layout Subsection
הצגות של
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
נדבור בפעולת
\begin_inset Formula $G=SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, על הספרה,
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
.
\begin_inset Formula \[
Tgf\left(v\right)=f\left(g^{-1}v\right)=f\left(vg\right)\]
\end_inset
היא הצגה.
יהא
\begin_inset Formula $\mathcal{P}_{k}$
\end_inset
מרחב כל הפולינום ההומוגניים מדרגה
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
, בשלושה משתנים:
\begin_inset Formula \[
f\in\mathcal{P}_{k}\iff f\left(\lambda x,\lambda y,\lambda z\right)=\lambda^{k}f\left(x,y,z\right)\]
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
פולינום.
כמובן כל
\begin_inset Formula $\mathcal{P}_{k}$
\end_inset
אינוורינטי תחת כל
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
, שהרי
\begin_inset Formula \[
f\left(\lambda\left(g^{-1}v\right)\right)=f\left(g^{-1}\left(\lambda v\right)\right)\]
\end_inset
כל
\begin_inset Formula $\mathcal{P}_{k}$
\end_inset
הוא מרחב לינארי, סוף מימדי, אינוורינטי תחת פעולת
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
נסמן ב-
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
את צמצום הפונקציות ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{P}_{k}$
\end_inset
אל הספירה.
העתקת הצמצום היא חד-חד-ערכית, כי פולינום הומוגני נקבע על ידי ערכיו על הספירה.
\begin_inset Formula \[
\dim\mathcal{P}_{k}=\dim Q_{k}={k+2 \choose 2}\]
\end_inset
וקיים,
\begin_inset Formula $Q_{k-2}\subseteq Q_{2}$
\end_inset
, כי אם
\begin_inset Formula $f\in Q_{k-2}$
\end_inset
, אז
\begin_inset Formula $\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)f\in Q_{k}$
\end_inset
, והם מזדהים על הספירה.
\end_layout
\begin_layout Corollary
\begin_inset Formula $Q_{k-2}\subseteq Q_{k}$
\end_inset
, הצגות של
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout --Separator--
\end_layout
\begin_layout Corollary
התבנית
\begin_inset Formula $\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle =\int_{S^{2}}p_{1}\bar{p}_{2}\d m$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $p_{1},p_{2}\in Q_{q}$
\end_inset
, היא תבנית הרמיטית, חיובית לחלוטין,
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטית על
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $m$
\end_inset
היא המידה האינוורינטיתת לסיבובים על
\begin_inset Formula $S^{2}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
נגדיר
\begin_inset Formula $H_{k}\oplus Q_{k-2}=Q_{k}$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
המשלים הניצב של
\begin_inset Formula $Q_{k-2}$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
.
כמובן,
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
, מרחב עם הצגה אוניטרית של
\begin_inset Formula $SO_{3}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Theorem
ההצגה במרחב
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
שמימדו
\begin_inset Formula $2k+1$
\end_inset
היא אי פריקה, לכל
\begin_inset Formula $0\leq k$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Claim
)טענת עזר להוכחת המשפט(
\end_layout
\begin_layout Claim
יהא
\begin_inset Formula $V\subseteq C\left(X\right)$
\end_inset
, תת מרחב סוף-ממדי כלשהו )סגור(, שהוא
\begin_inset Formula $G$
\end_inset
-אינוורינטי.
אזי, מרחב זה מכיל לפחת פונקציה אחת, שהיא אינוורינטית תחת כל הסיבובים מסביב
לציר
\begin_inset Formula $\hat{z}$
\end_inset
, ואינה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\numeric off
.
\end_layout
\begin_layout Proof
תהא
\begin_inset Formula $f\in V$
\end_inset
, ותהא
\begin_inset Formula $f\not\equiv0$
\end_inset
.
בלי הגבלת הכלליות,
\begin_inset Formula $f\left(p\right)=1$
\end_inset
, שהרי אם
\begin_inset Formula $f\left(x\right)\neq0$
\end_inset
, יש
\begin_inset Formula $G\in SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, כך ש-
\begin_inset Formula $g\left(x_{0}\right)=p$
\end_inset
, ואזי
\begin_inset Formula $f\circ g^{-1}\left(p\right)\neq0$
\end_inset
.
בנינו את אופרטור ההטלה הניצבת, על מרחב האינוורינטות, בכל הצגה אוניטרית
של
\begin_inset Formula $\mathbb{T}$
\end_inset
, שהיא איזומורפית לחבורת הסיבובים סביב ציר
\begin_inset Formula $z$
\end_inset
.
האופרטור שהגדרנו,
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
, לוקח את
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
לעצמו.
\end_layout
\begin_layout Proof
אם כן,
\begin_inset Formula \begin{align*}
Pf\left(y\right) & =\int_{\mathbb{T}}T_{k_{\theta}}f\left(y\right)\d\theta\in V^{T\left(\mathbb{T}\right)}\\
& =\int_{\mathbb{T}}f\left(k_{\theta}^{-y}y\right)\d\theta\end{align*}
\end_inset
כאשר
\begin_inset Formula $V^{T\left(\mathbb{T}\right)}$
\end_inset
הוא מרחב האינוורינטות של
\begin_inset Formula $\pi\left(\mathbb{T}\right)$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $Pf$
\end_inset
היא אינוורינטית לסיבובים סביב ציר
\begin_inset Formula $\hat{z}$
\end_inset
, וכמובן,
\begin_inset Formula $Pf\left(p\right)=1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout --Separator--
\end_layout
\begin_layout Standard
כמובן, שלכל
\begin_inset Formula $g\in O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, קיים
\begin_inset Formula $T_{g}P_{k}=P_{k}$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $T_{g}Q_{k}=Q_{k}$
\end_inset
.
ולכן, קיבלנו סידרה של הצגות אוניטריות של
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, כטרנספורמציות על
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
יהא
\begin_inset Formula $Q_{k-2}\subseteq Q_{k}$
\end_inset
, ויהא
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{k}$
\end_inset
, המשלים הנציב של
\begin_inset Formula $Q_{k-2}$
\end_inset
תחת התבנית.
\begin_inset Formula $H_{k}\oplus Q_{k-2}$
\end_inset
.
כמובן ש-
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
הוא אינוורינטי תחת כל האופרטורים
\begin_inset Formula $T_{g}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $g\in O_{3}$
\end_inset
, ולכן נותן הצגה אוניטרית של
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
כמובן,
\begin_inset Formula $\dim H_{k}=2k+1$
\end_inset
.
למשל,
\begin_inset Formula $H_{0}=\left\{ 1\right\} $
\end_inset
,
\begin_inset Formula $H_{1}=\set{ax+by+cz|a,b,c\in\CC}$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $H_{1}$
\end_inset
היא הקומפלפיקציה של ההצגה הרגילה של
\begin_inset Formula $O_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, על
\begin_inset Formula $\RR_{3}$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $\dim H_{2}=5$
\end_inset
וזו הצגה חדשה.
\end_layout
\begin_layout Proof
)של המשפט, ועד הפעם( נוכיח בשני שלבים:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
נראה שבכל תת-מרחב של
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
שהוא אינוורינטי תחת
\begin_inset Formula $T_{g}$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $g\in SO_{3}$
\end_inset
, קיימת פונקציה יחידה
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $0\neq f$
\end_inset
, שמקיימת,
\begin_inset Formula $T_{g}f\left(x\right)=f\left(x\right)$
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
שמייצבת את הקוטב הצפוני,
\begin_inset Formula $p$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $f\left(p\right)=1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
נראה כי ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{k}$
\end_inset
יש פונקציה יחידה כזו.
\end_layout
\begin_layout Standard
זה מסיים את הוכחת המשפט, כי אם
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{k}=U\oplus V$
\end_inset
, ואלו תתי-מרחבים אינוורינטים, לא טריוויאלים, אזי, כל אחד מהם מכיל פונקציה
\begin_inset Formula $0\neq$
\end_inset
, שמקיימת את
\begin_inset Formula $\left(1\right)$
\end_inset
, ופונקציות אלו ניצבות.
כלומר ,
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
מכיל שתי פונקציות, בסתירה ל-
\begin_inset Formula $\left(2\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
חלק )
\numeric on
1
\numeric off
(
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
נתון תת מרחב אינוורינטי
\begin_inset Formula $W$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $W\ni f\neq0$
\end_inset
, ובלי הגבלת הכלליות,
\begin_inset Formula $f\left(p\right)=1$
\end_inset
, ועתה, המייצב ב-
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
של הקוטב הצפוני,
\begin_inset Formula $\mathbb{T}\cong St_{SO_{3}\left(\RR\right)}\left(p\right)=H$
\end_inset
, ולכן,
\begin_inset Formula \[
Pf\left(x\right)=\int_{H}T_{h}f\left(x\right)\d m\in W\]
\end_inset
אזי,
\begin_inset Formula $Pf$
\end_inset
היא
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
-אינוורינטית, ו-
\begin_inset Formula $Pf\left(p\right)=1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Paragraph
חלק )
\numeric on
2
\numeric off
(
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
לכל פולינום
\begin_inset Formula $q\left(x,y,z\right)\in Q_{k}$
\end_inset
, נוכל לרשום:
\begin_inset Formula $q\left(x,y,z\right)=\sum_{j=0}^{k}q_{j}\left(x,y\right)z^{j}$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
הוא אינוורינטי תחת
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
\begin_inset Formula $q\left(x,y,z\right)=\sum_{j=0}^{k}c_{j}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{j}z^{k-2j}$
\end_inset
.
ההוכחה כתרגיל.
נ
\end_layout
\begin_layout Proof
נסיק כי ב-
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
, יש
\begin_inset Formula $\left[\frac{k}{2}\right]+1$
\end_inset
, פולינומים שהם
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
-אינוורינטים.
ואם כן, ב-
\begin_inset Formula $Q_{k-2}$
\end_inset
, יש
\begin_inset Formula $\left[\frac{k-2}{2}\right]+1$
\end_inset
פולינומים שהם
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
-אינוורינטים.
אבל,
\begin_inset Formula $Q_{k}=Q_{k-2}\oplus\mathcal{H}_{k}$
\end_inset
, וקיים,
\begin_inset Formula \[
P\left(Q_{k}\right)=P\left(Q_{k-2}\right)\oplus P\left(\mathcal{H}_{k}\right)\]
\end_inset
כי
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
שומר על כל מרחב
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
-אינוורינטי, ובוודאי על
\begin_inset Formula $Q_{k-2}$
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
, שהם אפילו
\begin_inset Formula $SO_{3}$
\end_inset
-אינוורינטים.
לכן, מרחב האינוורוינטות של
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
, הוא הסכום הישר של מרחב האינוורינטות של
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $Q_{k-2}$
\end_inset
עם מרחב האינוורינטות של
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{k}$
\end_inset
.
ומאחר מ-
\begin_inset Formula $Q_{k-2}$
\end_inset
ל-
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
נוסף רק מימד אחד למרחב האינוורינטות, אזי ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{k}$
\end_inset
יש אכן פונקציה
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
-אינוורינטית אחת.
\end_layout
\begin_layout Subsection
התמרות אינטגרליות
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
התמרת קרני-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
יש לנו גוף מישורי.
אנחנו שולחים קרן, שעוברך דרך הגוף, היא נבלעה במידה חלקית בגוף, ולאחר מכן
נקלטה בקולט.
אנחנו מודדים בקולט את העוצמה של הקרן אחרי הבליאה בגוף.
אם עוצמת האלומה היא
\begin_inset Formula $I$
\end_inset
, והחומר הוא הומוגני עם מקדם בליעה
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
אחיד, אזי הקולט שמודד את עוצמת האלומה ביציאה ימדוד את
\begin_inset Formula $Ie^{-\rho d}$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
המרחק שהקרן עברה בתווך.
\end_layout
\begin_layout Standard
אם נניח שהגוף מורכב משני סוגים של חומרים, הומוגניים, עם מקדמי בליעה
\begin_inset Formula $\rho_{1},\rho_{2}$
\end_inset
, אזי, נצפה לעוצמה בקולט שהיא
\begin_inset Formula $Ie^{-d_{1}\rho_{1}-d_{2}\rho_{2}}$
\end_inset
.
מכאן, נסיק שאם נתון חומר כלשהו, ויש לו פונקציה
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
, שנותנת את מקדם הבליעה בכל נקודה, אזי, לאחר מעבר הקרן, נמדוד עוצמה שהיא
\begin_inset Formula $Ie^{-\int_{0}^{d}f}$
\end_inset
, כאשר האינטגרל הוא על מסלול הקרן.
נרצה לשלוח את האלומה בכל הכיוונים האפשריים, ולקבל קבוצה גדולה של תוצאות.
בהנתן משפחה של מדידות כאלו, האם ניתן לשחזר את הפונקציה
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
?
\end_layout
\begin_layout Standard
מבחינה מתמטית, האם ניתן לשחזר את הפונקציה
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
, על סמך הידע של האינטגרל על הפונקציה דרך כל ישר החותך אותה.
האם כאשר
\begin_inset Formula $\int_{\ell}F\d t=\int_{\ell}G\d t$
\end_inset
, לכל ישר
\begin_inset Formula $\ell$
\end_inset
שחותך את הגוף
\begin_inset Formula $D$
\end_inset
, מתקיים
\begin_inset Formula $F=G$
\end_inset
, נקראת
\emph on
בעיית היחידות
\emph default
לטרנספורם-קרני-
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
.
נוכל גם לדון בבעיית השיחזור, אם בעיית היחידות נפתרה.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
בעיית היחידות שיחזור לגופים קמורים ב-
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
יהא
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
גוף קמור סימטרי סביב
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
.
לכל מישור
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
דרך הראשית ב-
\begin_inset Formula $\RR^{3}$
\end_inset
, יהא
\begin_inset Formula $A\left(C\cap L\right)$
\end_inset
, השטח של
\begin_inset Formula $C\cap L$
\end_inset
.
אם נתון גוף נוסף, קמור וסימטרי,
\begin_inset Formula $D$
\end_inset
, וקיים
\begin_inset Formula $A\left(C\cap L\right)=A\left(D\cap L\right)$
\end_inset
, לכל מישור
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
, האם
\begin_inset Formula $C=D$
\end_inset
?
\end_layout
\begin_layout Standard
נבצע רדוקציה של בעייה זו לבעיה של גיאומטריה אינטגרלית על הספרה.
נעיין ב-
\begin_inset Formula $C\cap L$
\end_inset
, במישור
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
לכל
\begin_inset Formula $v\in S^{2}\cap L$
\end_inset
)שמגדיר כיוון כלשהו על המישור(, נעיין בכיוון ש-
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
קובע, ויהא
\begin_inset Formula $r_{v}=r_{\theta}$
\end_inset
האורך של הקטע מ-
\numeric on
0
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
עד
\begin_inset Formula $\partial\left(C\cap L\right)$
\end_inset
, בכיוון
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
.
הפונקציה
\begin_inset Formula $r_{v}$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $v\in S^{2}$
\end_inset
, קובעת את
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
ביחידות.
אנו מעוניינים בשטח
\begin_inset Formula $A\left(C\cap L\right)$
\end_inset
, ובקוארודינטות פולריות במישור, שבהם
\begin_inset Formula $C\cap L=\left\{ \left(s,\theta\right)|0\leq s\leq r\left(\theta\right)\right\} $
\end_inset
\begin_inset Formula \[
A\left(C\cap L\right)=\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{r_{\theta}}1\, r\d r\right)\d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}r_{\theta}^{2}\d\theta\]
\end_inset
קיבלנו כאן את הטרנספורם האינטגרלי הבא: נתונה פונקציה
\begin_inset Formula $r_{v}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $v\in S^{2}$
\end_inset
, כך ש-
\begin_inset Formula $r_{v}=r_{-v}$
\end_inset
)כי הגוף
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
סימטרי(.
נבצע את האינטגרציה של הפונקציה על מעגל גדול, שהוא החיתוך של מישור
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
עם הספירה,
\begin_inset Formula $\int_{L\cap S^{2}}r\left(\theta\right)^{2}\d\theta$
\end_inset
.
והפתרון של בעיית היחידות לגופים קמורים סימטריים, ינבע אם נוכל להראות כי
הטרנספורם האינטגרלים הזה, קובע את הפונקציה
\begin_inset Formula $r_{v}$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula \[
\int_{L\cap S^{2}}R\left(\theta\right)^{2}\d\theta=\int_{L\cap S^{2}}r\left(\theta\right)^{2}\d\theta\]
\end_inset
לכל
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
, גורר כי
\begin_inset Formula $R=r$
\end_inset
.
נעיין עתה ב-
\begin_inset Formula $C\left(S^{2}\right)$
\end_inset
, הפונקציות הרציפות על הספריה, ובאופרטור,
\begin_inset Formula \begin{align*}
J:C\left(S^{2}\right) & \to C\left(S^{2}\right)\\
Jf\left(x\right) & =\int_{L=x^{\perp}\cap S^{2}}f\left(y\right)\d y\end{align*}
\end_inset
נוכל לרשום
\begin_inset Formula $C\left(S^{2}\right)=C_{e}\left(S^{2}\right)\oplus C_{0}\left(S^{2}\right)$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $C_{e}$
\end_inset
הן הפונקציות הזוגיות, המקיימות
\begin_inset Formula $f\left(x\right)=f\left(-x\right)$
\end_inset
, ופונקציה ב-
\begin_inset Formula $C_{o}$
\end_inset
היא אי-זוגית, אם
\begin_inset Formula $h\left(x\right)=-h\left(-x\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Theorem
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
אופרטור חד-חד-ערכי על
\begin_inset Formula $C_{e}\left(S^{2}\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Paragraph
חלק ראשון:
\end_layout
\begin_layout Standard
האופרטור
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
הוא אופרטור
\emph on
משלב
\emph default
עבור ההצגה של
\begin_inset Formula $SO_{3}$
\end_inset
על
\begin_inset Formula $C\left(S^{2}\right)$
\end_inset
.
כלומר,
\begin_inset Formula \[
J\left(T_{g}f\right)=T_{g}\left(Jf\right)\]
\end_inset
כלומר,
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
מתחלף עם כל האופרטורים
\begin_inset Formula $T_{g}$
\end_inset
, כאשר
\begin_inset Formula $g\in SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
.
כמובן ש-
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
גם שומר על זוגיות של פונקציות.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
הוכחת החלק הראשון
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \[
Jf\left(x\right)=\int_{X^{\perp}\cap S^{2}}f\left(y\right)\d y\]
\end_inset
צריך להראות ש-
\begin_inset Formula \begin{align*}
Tg\left(Jf\right)\left(x\right) & =Jf\left(g^{-1}x\right)=\int_{\left(g^{-1}x\right)^{\perp}\cap S^{2}}f=J\left(T_{g}f\right)\left(x\right)\\
& =\int_{x^{\perp}\cap S^{2}}T_{g}f=\int_{x^{\perp}\cap S^{2}}f\left(g^{-1}y\right)\d y\end{align*}
\end_inset
בעצם העברנו את המעגל הגדול שלנו למעגל גדול אחר, אז אנחנו עושים אינטגרציה
על אותו הדבר.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
חלק שני
\end_layout
\begin_layout Standard
כל אופרטור משלב, ובפרט
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
, הוא בעל התכונה הבאה: אם
\begin_inset Formula $U$
\end_inset
מרחב אינוורינטי תחת
\begin_inset Formula $SO_{3}$
\end_inset
, אזי גם
\begin_inset Formula $JU$
\end_inset
כזה.
ואכן:
\begin_inset Formula \[
T_{g}\left(JU\right)=J\left(T_{g}U\right)=JU\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Paragraph
חלק שלישי
\end_layout
\begin_layout Standard
נעיין במרחב
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{k}$
\end_inset
, שנותן הצגה
\emph on
אי-פריקה
\emph default
של
\begin_inset Formula $SO_{3}$
\end_inset
.
אזי,
\begin_inset Formula $JH_{k}$
\end_inset
גם כן מרחב הצגה אי-פריקה של
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
, וכמובן, שמימדו
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
או
\begin_inset Formula $\dim H_{k}$
\end_inset
.
זאת משום ש-
\begin_inset Formula $\ker J|_{H_{k}}$
\end_inset
הוא תת-מרחב אינוורינטי של
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
, ולכן הוא
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
או
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Theorem
)גרסא למשפט פיטר-וויל, לא נוכיח(
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Standard
האוסף
\begin_inset Formula $\left\{ H_{k}|k\geq0\right\} $
\end_inset
הוא בדיוק אוסף
\series bold
כל
\series default
ההצגות האוניטריות האי-פריקות של
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $C\left(S^{2}\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Paragraph
שלב רביעי
\end_layout
\begin_layout Standard
לפי המשפט,
\begin_inset Formula $J:H_{k}\to H_{k}$
\end_inset
הוא אופרטור משלב בין
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
לעצמו.
כי אם
\begin_inset Formula $JH_{k}=0$
\end_inset
, אז בסדר, ואם לא,
\begin_inset Formula \[
\dim JH_{k}=2k+1\]
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $J\left(H_{k}\right)$
\end_inset
הצגה אוניטרית אי-פריקה של
\begin_inset Formula $SO_{3}\left(\RR\right)$
\end_inset
מהמימד המתאים, ולכן מתלכדת עם
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
מאחר ו-
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
מתחלף עם כל אופרטורי ההצגה, אזי
\begin_inset Formula $Jf=\lambda_{k}f$
\end_inset
, לכל
\begin_inset Formula $f\in H_{k}$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
סקאלר על
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
, על פי הלמה של
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Schur
\lang hebrew
.
\begin_inset Formula \[
\begin{array}{cc|ccc|c}
& & C_{e} & & & C_{o}\\
& & {\scriptstyle H_{0}} & {\scriptstyle H_{j_{1}}} & & \,\\
\hline C_{e} & {\scriptstyle H_{0}} & \boxed{1} & & & \,\\
& {\scriptstyle H_{k_{1}}} & & \boxed{\lambda_{k_{1}}} & & 0\\
& & & & \ddots & \,\\
\hline C_{o} & & & 0 & & \ddots\end{array}\]
\end_inset
האופרטור הזה מתלכסן בכל מרחבי ההצגה, ובגלל שהאופרטור משלב, בכל אחד מהמרחבים,
האופרטור הוא סקאלר.
במילים אחרות, לאופרטור
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
יש ליכסון על ידי התבוננות במרחבי ההצגה האי-פריקים של
\begin_inset Formula $SO_{3}$
\end_inset
, כלומר,
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
, כך ש-
\begin_inset Formula $k\geq0$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
שלב חמישי
\end_layout
\begin_layout Standard
ההוכחה תסתיים כאשר נראה כי
\begin_inset Formula $\lambda_{k}\neq0$
\end_inset
, לכל מרחב
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
, שמקיים
\begin_inset Formula $H_{k}\subseteq C_{e}\left(S^{2}\right)$
\end_inset
.
כיצד מוצאים את הספקטרום של
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
, כלומר, את הערכים העצמיים
\begin_inset Formula $\lambda_{k}$
\end_inset
של
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
, במרחבים
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{k}$
\end_inset
?
\end_layout
\begin_layout Standard
כמובן, שכדי למצוא את
\begin_inset Formula $\lambda_{k}$
\end_inset
, די לקחת פונקציה אחת
\begin_inset Formula $L_{k}$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
\end_inset
, ולחשב את
\begin_inset Formula $JL_{k}=\lambda_{k}L_{k}$
\end_inset
, כי
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
סקאלר.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
עכשיו, יש פונקציה יחידה
\begin_inset Formula $L_{k}\in\mathcal{H}_{k}$
\end_inset
, כך ש-
\begin_inset Formula $L_{k}\left(p\right)=1$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $L_{k}$
\end_inset
אינוורינטית תחת סיבובים סביב ציר
\begin_inset Formula $z$
\end_inset
.
נחשב את
\begin_inset Formula $L_{k}$
\end_inset
, ונחשב את
\begin_inset Formula $JL_{k}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Paragraph
שלב שישי
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $L_{k}$
\end_inset
כמובן פונקציה של
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset
בלבד, וקיים
\begin_inset Formula \[
L_{z}\left(z\right)=\frac{\d^{k}}{\d z^{k}}\left(z^{2}-1\right)^{k}\]
\end_inset
פולינום לג'נדר ה-
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
.
צריך לראות כי פולינום זה הוא ב-
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
, ויותר מזה, ב-
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
.
מאחר ש-
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
המשלים הניצב של
\begin_inset Formula $Q_{k-2}$
\end_inset
ב-
\begin_inset Formula $Q_{k}$
\end_inset
, ו-
\begin_inset Formula $L_{k}$
\end_inset
ניצב לכל הפולינומים ממעלה יותר קטנה, זה אכן נכון.
)תרגיל(
\end_layout
\begin_layout Proof
אם כן, מרחב האינווריינטות של
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
, המייצב של הקוטב הצפוני ב-
\begin_inset Formula $H_{k}$
\end_inset
, נפרש על ידי
\begin_inset Formula $L_{k}$
\end_inset
.
לסיום, נחשב את
\begin_inset Formula $JL_{k}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
מצד אחד, האינטגרל של
\begin_inset Formula $L_{k}$
\end_inset
על קו המשווה,
\begin_inset Formula \[
JL_{k}\left(p\right)=2\pi L_{k}m(0\]
\end_inset
ומצד שני,
\begin_inset Formula $JL_{k}=\lambda_{k}L_{k}'$
\end_inset
ולכן, בקוטב הצפוני, נקבל
\begin_inset Formula $JL_{k}$
\end_inset
הוא
\begin_inset Formula $\lambda_{k}....$
\end_inset
.
קיבלנו
\begin_inset Formula \begin{align*}
2\pi L_{k}\left(0\right) & =\lambda_{k}L_{k}\left(1\right)\\
\lambda_{k} & =\frac{2\pi L_{k}\left(0\right)}{L_{k}\left(1\right)}\end{align*}
\end_inset
\begin_inset Formula \[
L_{k}\left(1\right)=\frac{\d^{k}}{\d z^{k}}\left(\left(z-1\right)^{k}\left(z+1\right)^{k}\right)=k!\left(z+1\right)^{k}=z^{k}k!\]
\end_inset
אינדוקציה,
\begin_inset Formula $z=1$
\end_inset
\begin_inset Formula \[
L_{k}\left(0\right)=\begin{cases}
0 & ,k\,\text{ odd}\\
k!{k \choose k/2} & ,k\,\text{even}\end{cases}\]
\end_inset
כמובן
\begin_inset Formula $H_{k}\subseteq C_{e}\left(S^{2}\right)$
\end_inset
\begin_inset Formula $\iff$
\end_inset
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
זוגי )על סמך הומוגניות(
\begin_inset Formula \begin{align*}
f\left(\lambda v\right) & =\lambda^{k}f\left(v\right)\\
f\left(-1v\right) & =\left(-1\right)^{k}f\left(v\right)\end{align*}
\end_inset
ולכן, הערך העצמי של
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
על
\begin_inset Formula $C_{2}\left(S^{2}\right)$
\end_inset
הם
\begin_inset Formula \[
\lambda_{k}=\frac{\pi{k \choose k/2}}{2^{k-1}}\neq0\]
\end_inset
ו-
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
חד-חד-ערכי, על
\begin_inset Formula $C_{e}\left(S^{2}\right)$
\end_inset
)עבל לא על
\begin_inset Formula $C\left(S^{2}\right)$
\end_inset
כולו!(
\end_layout
\begin_layout Standard
\end_layout
\end_body
\end_document